庖丁巧解牛
知识·巧学
一、条件概率
1.设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P(B|A)=
P(AB)为在事件A发生的条件下，事P(A)件B发生的条件概率.一般把P(A|B)读作B发生的条件下A的概率. 2.条件概率的性质为：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
疑点突破 事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的.
深化升华 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P（B｜A）相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即
n(AB)n(AB)P(AB)n(?)??P(B|A)=. n(A)n(A)P(A)n(?)每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件），求另一事件在此条件下发生的概率.
二、事件的独立性
设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
“P（AB）=P（A）P（B）”，说明事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P（B｜A）=P（B）.
一般地，如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P（A1）×P(A2)×…×P(An).同两事件相互独立的公式应用前提一样，这儿也只有当A1,A2,…,An相互独立时才成立.
辨析比较 事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
知识拓展 1-P（A）×P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率. 三、独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的ｎ次试验称为ｎ次独立重复试验.
“在相同条件下”，是指在ｎ次独立重复试验中，各次试验的结果不会受到其他试验的影响. ｎ次独立重复试验常见的实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币；②正（次）品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射击目标命中率已知的若干次射击.
2.二项分布：一般地，在ｎ次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为ｐ，那么在ｎ次独立重复试验中，事件A恰好发生ｋ次的概率为P（X=k）
kk=Cnp（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布.记作X—B（n,p），
并称ｐ为成功概率.
k二项式［（1-p）+p］n的展开式中，第ｋ＋1项为Tk+1=Cn(1-p)n-kpk，可见P(X=k)就是二项
式［(1-p)+p］n的展开式中的第ｋ＋1项，故此公式称为二项分布公式.
方法归纳 求概率问题时，一般按如下步骤解决：①确定所给事件的性质.归纳为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验中的某一种；②u判断事件的运算.看是和事件、积事件，确定事件至少有一个发生还是同时发生，从而运用相加或相乘的公式；③运用相应的公式求解. 问题·探究
问题1 我们知道，抛掷两次硬币，出现一次正面的概率是
1.那么抛掷100次硬币一定会出2现50次正面吗？
思路:不会.事实上，将一枚硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可
1，根据ｎ次独立重复试验中事件发生2501100
ｋ次的概率公式，随机掷100次正好出现50次正面的概率为P100(50)=C100()≈0.08.这个
2能结果（出现正面或出现反面）.出现正面的概率为
事件发生的可能性很小.
探究:误认为“抛掷100次硬币一定会出现50次正面”，是因为没有理解“ｎ次独立重复试验恰好发生ｋ次”这一概率模型.这里指的是掷100次硬币恰好有50次正面，因而它的概率并不等于
11，应该是掷100次硬币至少有50次正面的概率为. 22问题2 条件概率和相互独立事件同时发生的概率有什么异同？互斥事件和相互独立事件的
区别是什么？
思路:设事件A、B，在事件A发生的条件下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，即AB发生.但是在相互独立事件同时发生的概率中，A、B相互独立，互不影响，在条件概率中A、B有联系，不独立，即若B发生，则A一定发生.
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，两者都是对两个事件而言的，不同的是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否与另一个事件发生的概率没有影响.因此，互斥事件和相互独立事件一定要区分清楚.
探究:相互独立事件的概率求解一般是应用乘法公式，应用时要注意理解并运用相互独立事件的性质，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.如甲乙两人独立解同一道题，甲解决该问题的概率为P1，乙解决该问题的概率为P2，求恰好有1人解决这个问题的概率.我们应明确“恰好有1人解决这个问题”是指一人解出，同时另一人解不出，而两人解决问题是相互独立的.可以记甲解决这个问题的事件为A，乙解决这个问
B+A·B）+P（A·题的事件记为B.则所求概率为P(A·B)=P（A·B）
=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P1（1-P2）+P2（1-P1）.
典题·热题
例1(2005浙江高考)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
1，从B中摸出一个红球的概率为p． 3
(1)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
(2)若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
2，求p的值． 5思路分析： 由题意知，问题(1)可以看做是一个独立重复试验，可能利用独立重复试验的概率公式求解；问题(2)属于一个古典概型问题，可以用古典概型的概率公式解决.
2解：(1)①C4×(
122218)×()×=. 33381②随机变量 ξ的取值为0，1，2，3.
由n次独立重复试验概率公式
kk
Pn(k)=Cnp(1-p)n-k，得
153218011)=,P(ξ=1)=C5××(1-)4=,
32433324311802P(ξ=2)=C5×()2×(1-)3=,
3324312117231321221P(ξ=3)=C3()+C3()··+C4·（）2·（）2·=或
33333338132?80?805117?? P（ξ=3）=1-P（ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)=1-243243810P(ξ=0)=C5×(1-
随机变量 ξ的分布列是
Ξ 0
P
1 2 3
32 24380 24380 24317 81(2)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球.
1m?2mp132由3?,得p=.
303m5 方法归纳 解决概率问题的关键是找出概率类型，所以对各种类型必须熟悉.根据试验的
特点找出试验类型，然后采用相应的公式求解.
例2在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 思路分析： 本题属于条件概率问题.在已知该考生在考试中通过的前提下，获得优秀的概率，所以应根据条件概率的公式求解.
解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题另2道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D=A∪B∪C,E=A∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可知
65142C10C10C10C10C10P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=6?; ?66C20C20C20P(AD)=P(A),P(BD)=P(C∪B);
210252066C20C20P(A)P(B)13P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=,所以所求的概????1218012180P(D)P(D)5866C20C20率为
13. 58 误区警示 利用公式P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）可使求有些条件概率较为简捷，但应请注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.
例3甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为
11和，求： 34（1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率； （3）至多1个人译出密码的概率； （4）至少1个人译出密码的概率.
思路分析： 我们把“甲独立地译出密码”记为事件A，把“乙独立地译出密码”记为事件B，显然，A，B为相互独立事件.问题（1）相当于事件A，B同时发生，即事件AB.问题（2）相当于事件A·B.问题（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，即事件AB.问题（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，即事件A·B.由于A、B是相互独立事件，上述问题中，A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.
解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”记为事件B，A、B为相互独立事件，且P（A）=
11，P（B）=. 34111×=. 3412（1）两个人都译出密码的概率为：P（A·B）=P（A）·P（B）=
B)=P（A）·（2）两个人都译不出密码的概率为：P(A·P（B）=［1-P（A）］×［1-P(B)］
=(1-
111)(1-)=. 3421111×=. 3412231?=. 342（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-
（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密
B)=1-P(A)P(B)=1-码的概率为1-P(A·
方法归纳 解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来解决.在运用乘法公式时，一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式.
深化升华 在求事件的概率时，有时遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的问题，如
果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但它们的对立事件却往往较简单，其概率也易求，此时，可逆向思维，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式，求得原来事件的概率，即正难则反.
例4某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少两次中靶的概率.
思路分析： 至少有两次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的，而他每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而他射击5次是进行5次独立重复试验.
2解：解法一：在5次射击中恰好有2次中靶的概率为C5×0.92×0.13； 3在5次射击中恰好有3次中靶的概率为C5×0.93×0.12； 4在5次射击中恰好有4次中靶的概率为C5×0.94×0.1； 5在5次射击中5次均中靶的概率为C5×0.95.
2345至少有2次中靶的概率为C5×0.92×0.13＋C5×0.93×0.12+C5×0.94×0.1＋C5×0.95=0.008 1＋
0.072 9＋0.328 05＋0.590 49=0.999 54. 解法二：至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件.
1在5次射击中恰好有1次中靶的概率为C5×0.9×0.14；
在5次射击中全没有中靶的概率为0.15.
1所以至少有2次中靶的概率为1-C5×0.9×0.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54.
误区警示 如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻，很容易得出其概率为
C52×0.92×0.13=0.008 1的错误结果.究其原因是“至少有2次中靶”这一事件并不是指“有2次
kk中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接运用公式Cnp(1-p)n-k.该公式仅适用于求某ｎ次独
立重复试验中，事件A发生了ｋ次，而其余的ｎ-ｋ次事件A不发生的概率，且P（A）=ｐ.
例5某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5%（即每件为次品的概率）.现从一件产品中任意连续地取出2件，其中次品数ξ的概率分布是
ξ 0 1 2 P
请完成上表.
思路分析： 由于每件产品的次品率为5%，则连续取出2件就相当于2次独立重复试验，即题中次品数ξ服从二项分布. 解：由题意知，ξ—B(2,5%)，则 P(ξ=0)=C2(5%)0(95%)2=0.902 5, P(ξ=1)=C12(5%)1(95%)1=0.095,
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最新人教版高中数学选修2-3《二项分布及其应用》教材梳理
