人教版高中数学选修2-2
3.1.2 复数的几何意义
教材新知
知识点 复数的几何意义 提出问题
平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应． 问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ 导入新知 1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 纯虚数．
2．复数的几何意义
?对应平面向量内的点 ； (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)????uuur?平面向量OZ＝(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ????一一对应一一对应3．复数的模
uuuruuur复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，
且|z|＝a2＋b2. 化解疑难
探究复数的几何意义
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的
uuur点Z(a，b)和平面向量OZ之间的关系可用如下图表示：
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注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应点的坐标不是(a，bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点． 常考题型
题型一 复数与复平面内点的一一对应
例1 实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z： (1)位于第三象限？ (2)位于第四象限？
(3)位于直线x－y－3＝0上？ 类题通法
探究复数z对应复平面内的点的位置
如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则
(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限． (2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．
(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内． 活学活用
1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点： (1)在虚轴上，求复数z； (2)在实轴负半轴上，求复数z.
题型二 复数与平面向量的一一对应
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uuuruuur例2 (1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3
uuur＋2i，那么向量BA对应的复数是( )
A．－5＋5i C．5＋5i
B．5－5i D．－5－5i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
ruuuruuuruuu①求向量AB，AC，BC对应的复数；
②判定△ABC的形状． 类题通法
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 活学活用
2.在复平面内，O是原点，向量OA―→对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB―→对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
题型三 复数模的计算
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例3 求复数z1＝6＋8i及z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．
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人教版高中数学选修2-2 类题通法
复数模的计算方法
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 活学活用
3.已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
随堂即时演练
1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( ) A．a＝0或a＝2 C．a≠1且a≠2
B．a＝0
D．a≠1或a≠2
3．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
uuuuruuuuruuuur1313
5．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量OZ1，OZ2，OZ3，
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并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
——★ 参 考 答 案 ★——
问题1：[答案]一一对应． 问题2：[答案]一一对应．
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人教版高中数学选修2-2
问题3：[答案]由问题1、问题2可知能一一对应． 导入新知
1． 虚轴 实数 原点 2． (1)Z(a，b)
例1 解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足
?x2＋x－6＜0，??即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限． 2－2x－15＜0，?x?
2??x＋x－6＞0，(2)当实数x满足?2
?x－2x－15＜0，?
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上． 活学活用
1.解：(1)若复数z对应点在虚轴上， 则m2－m－2＝0，所以m＝－1，或m＝2， 此时，z＝6i或z＝0.
(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，
2??m－m－2<0，
则?2 ??m－3m＋2＝0，
解得m＝1，所以z＝－2.
题型二 复数与平面向量的一一对应 例2 (1) [答案]B
uuuruuuruuurOB对应的复数分别为2－3i，[解析]向量OA，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OAuuur＝(2，－3)，OB＝(－3,2)．
ruuuruuuruuu由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与
uuur复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.
(2)解：①由复数的几何意义知：
uuuruuuruuurOA＝(1,0)，OB＝(2,1)，OC＝(－1,2)，
ruuuruuuruuu∴AB＝OB－OA＝(1,1)， uuuruuuruuurAC＝OC－OA＝(－2,2)， uuuruuuruuurBC＝OC－OB＝(－3,1)，
ruuuruuuruuu∴AB，AC，BC对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
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高中数学选修2-2学案5：3.1.2 复数的几何意义
