高等数学（一） 试卷A一、填空题：1. 当x??时，函数f(x)与2. 设函数1是等价无穷小，则lim2xf(x)?_____________________。x??xf(4?3x)?f(1)f(x)在x?1可导,且f?(1)?2，则lim?____________。x?1x?13. 设y?x2?e2x，则y(50)?______________。4. 函数5. 已知f(x)?lncosx在[7?9?,]上满足罗尔定理的点??___________。4410f(x)的一个原函数为xex，则?xf?(x)dx?__________。f(x)?x?ln(1?x)的单调减少区间为______________。6. 函数?x?3t?2?7. 通过点(1,2,3)且与直线?y?2t垂直的平面方程为__________________。?z?t?1??2z8. 设z?xy?xy，则?_______________。?x?y239. 改变积分次序?10dx?x20f(x,y)dy??dx?122?x0f(x,y)dy?________________。10. 微分方程xdy?2ydx?0满足yx?2?1的特解是_____________。二、选择题：11. 设函数f(x)有二阶连续导数，且f?(0)?0,limx?0f??(x)?1， 则（ ）x（A）（D）f(0)是f(x)的极小值； （B）f(0)是f(x)的极大值； （C）(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点；f(0)不是f(x)的极小值，(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点。12. 下列积分中，哪一个广义积分是发散的 （ ）??10??1x（A）?（D）?edxdx；（B）?dx；（C）?sinxdx；24??110xxx?1y?1z?213. 平面x?2y?z?3?0与空间直线的位置关系是 （ ）??3?11??（A）互相垂直； （B）互相平行但直线不在平面上； （C）既不平行也不垂直； （D）直线在平面上14. 级数nax?n在x?2处收敛，则该级数在x??1时 ( )n?0?（A）发散；（B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）敛散性无法确定。第1页，共6页15. 设y?y(x)在点x处的增量为?y?y?x??1?x，且当?x?0时，?是?x的高阶无穷小，y(0)?1，则y(1)的值为 （ ）。 （A）?1； （B） 0 ； （C）1 ； （D）2x3?3x2x?3x?1三、计算题：16. lim 17. lim() 18. 设z?(2x?y)(x?3y)，求dzx?3sin(3?x)x??2x?119. 设z是由方程ex?ysin(x?z)?0所确定的x,y的函数，求?z?z,。?x?y20. 计算21. 计算?L?x2ydx?xy2dy，其中L是上半圆周：x2?y2?a2,y?0，方向从B(a,0)?A(?a,0)。???xdxdydz，其中?：三个坐标平面与平面x?y?z?1所围成的闭区域。?22. 求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解。??nnn4、解答题：23. 判定级数?n(a?0,a?e)的敛散性。 24. 求幂级数?nx的收敛域及和函数。n?1an!n?125. 已知?xtcostdt,x?0?，讨论f(x)的连续性，并写出连续区间；考察在x?0处f(x)是否可导？若可f(x)???02?x,x?0?导，求f?(0)。五、应用题26. 设函数3f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内大于零，并满足微分方程xf?(x)?f(x)?ax2(a为常数）。又曲线2y?f(x)与x?1,y?0所围图形的面积为2，求函数f(x)，并问a为何值时，图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。六、证明题：27. 设f(x)是连续函数，证明：?1(1?nn11)f(x?)dx?0。x2x高等数学（一）试卷参考答案（A卷） 一、填空题1. lim2xfx??(x)?2。 2. limx?110f(4?3x)?f(1)??6。 3. 250e2x。 x?1 4. ??2?. 5. ?xf?(x)dx?e。 6. 单调减少区间为(?1,0)。?2z7. 3x?2y?z?10?0 8. ?2y?3x2。?x?y第2页，共6页9. ?10dx?f(x,y)dy??dx?01x222?x0f(x,y)dy??dy?012?yyf(x,y)dx。10. 特解是y?4x2。二、选择题11. A； 12. C； 13. D ； 14. B； 15. D三、计算题x3?3x3x2?3xln316. lim=?lim??(27?27ln3)?27(ln3?1)。x?3sin(3?x)x?31 17. 3x?13(1?)x?12x?3e22xlim()?lim?1?e2。x?1x??2x?1x???1(1?)e22x 18. u?2x?y,v?x?3y,z?uv (1分)?z?z?u?z?v?????vuv?1?2?uvlnu?uv?1(2v?ulnu)?x?u?x?v?x?(2x?y)x?3y?1[2(x?3y)?(2x?y)ln(2x?y)]?z?z?u?z?v?????vuv?1?uvlnu(?3)?uv?1(v?3ulnu)?y?u?y?v?y?(2x?y)x?3y?1[(x?3y)?3(2x?y)ln(2x?y)]19. F(x,y,z) ?ex?ysin(x?z)?Fx?ex?ysin(x?z)?ex?ycos(x?z)；Fy?ex?ysin(x?z)； Fz?ex?ycos(x?z)； Fx?zex?y[sin(x?z)?cos(x?z)]于是??????[tan(x?z)?1]；x?y?xFzecos(x?z) Fy?zex?ysin(x?z)????x?y??tan(x?z)； ?yFzecos(x?z)?z?zdx?dy??[tan(x?z)?1]dx?tan(x?z)dy。 ?x?ydz?20. 解:补充直线AB:(?a,0)?(a,0),使L?AB构成封闭曲线L?.222?L??xydx?xydy???(y?x)dxdy??d??r2rdr?D002?a?4a4;第3页，共6页而?AB?xydx?xydy??0,22y?0所以?L?x2ydx?xy2dy???(y2?x2)dxdy???x2ydx?xy2dy?DAB?4a4.21．???xdxdydz??dx??111?x00dy?1?x?y0xdz??dx?011?x0(1?x?y)dy 111312.??x[(1?x)]dx??(x?2x2?x)dx?022024222. 解：特征方程r?2r?3?0?(r?3)(r?1)?0?r1?1,r2??3;?C1ex?C2e?3x。所以，齐次方程的通解为Y又???3是特征方程的单根，故可设非齐次方程的特解y*?Axe?3x；1?3x1*。所以特解y??xe。441x?3x所以微分方程的通解：y?C1e?C2e?xe?3x。4代入方程，得A??4、解答题（每题8分，共24分）un?1(n?1)n?1ann!11ne23. 解：lim?lim???lim(1?)?；nn?1n??un??n??na(n?1)!anan当a?e时，limun?1e??1，所以级数收敛且绝对收敛。n??uan当a?e时，limun?1e??1，所以级数发散。 n??uan7. 解：1）收敛半径R?limn?1，且在x??1时，级数发散，n??n?1所以收敛域为(?1,1)。2）设收敛域内和函数为S(x)，于是???S(x)??nx?x?nxnn?1n?1n?1?x(?xn)??x(n?1xx)??1?x(1?x)2。25．解：x?02limf(x)?limtcostdt?0,limf(x)?limx?0，?????x?00x?0x?0x第4页，共6页 limf(x)?0?f(0)，f(x)在x?0点连续。x?0又f(x)在(??,0)和(0,??)内连续，故其连续区间为(??,??)。 f(x)?f(0)lim?limx?0?x?0?x?0?x0tcostdtx?lim?x?0xcosx?0；1f(x)?f(0)x2?0lim?lim??0； x?0?x?0x?0x于是所以f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0，x?0f(x)在x?0处可导，且f?(0)?0。5、应用题f(x)3f(x)3?ax?f?(x)??ax，x2x213 即为一阶线性微分方程。此时p(x)??,q(x)?ax。于是，x2解：1）当x?0时，f?(x)?f(x)?e又因为1?(?)dxx?3ax?(?x)dx3a3a[?edx?c]?elnx[?dx?c]?x[x?c]；222x?01f(x)在[0,1]上连续，所以，limf(x)?0?f(0)，即f(0)?0，曲线过原点。f(x)?3a2x?xc21所以，x?[0,1]。 (3a2a3c2111x?cx)dx?(x?x)?a?c，0?0222223a2即a?c?4?c?4?a。因此f(x)?x?(4?a)xx?[0,1]。21132223）Vx???f(x)dx???[ax?(4?a)x]dx0022）又由已知条件得：2?9a249a253a1322???[x?3a(4?a)x?(4?a)x]dx??[x?(4?a)x4?(4?a)2x3]10 04204319a23a1??[?(4?a)?(4?a)2]。2043 (Vx)a???[?1832?a?3?a?(a?4)]，令(Vx)a?0，又(Vx)??a??5??0，152024 所以当a??5时旋转体的体积最小。6、证明题第5页，共6页
专升本高数(一)(A)+答案(可编辑修改word版)
