C．33 D．255
x2y222211．设F为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，以OF为直径的圆与圆x?y?aO为坐标原点，
ab交于P，Q两点.若PQ?OF，则C的离心率为 A．2 C．2
B．3 D．5
12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x?1)?2 f(x)，且当x?(0,1]时，f(x)?x(x?1).若对任意
8x?(??,m]，都有f(x)??，则m的取值范围是
9A．???,?
4??9??
B．???,?
3??7??
C．???,?
2??
5??
D．???,?
3??8??二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有
20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
14．已知f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)??eax.若f(ln2)?8，则a?__________. 15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b?6,a?2c,B?π，则△ABC的面积为__________. 316．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南
.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）
16
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。 17．（12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 19．（12分）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an?1?3an?bn?4 ，4bn?1?3bn?an?4. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.
17
20．（12分）
已知函数f?x??lnx?x?1x?1.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y?ex的切线. 21．（12分）
已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C
于点G.
（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
O为极点，在极坐标系中，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当?0=
12.记M的轨迹为曲线C.
?
时，求?0及l的极坐标方程； 3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)?|x?a|x?|x?2|(x?a). （1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若x?(??,1]时，f(x)?0，求a的取值范围.
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 6．C
2．C 7．B
3．C 8．D
4．D 9．A
5．A 10．B
11．A 12．B 13．0.98 15．63
14．–3
16．26；2?1
17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE?(1,?1,1)，CC1?(0,0,2)． 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
??CB?n?0,?x?0,即? ?x?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).
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设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
??CC1?m?0,?2z?0,即? ???x?y?z?0.?CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．
|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为
18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙
得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?1(an?bn)． 2又因为a1+b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公比为由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8， 即an?1?bn?1?an?bn?2．
1的等比数列． 2又因为a1–b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，an?bn?1，an?bn?2n?1． n?12所以an?111[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?， 222111bn?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?．
22220．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
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2019年高考全国2卷真题(含语文,理科数学,英语)及答案
