故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：2500（1+20%）=3000万元．
点评： 本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）=增长后的量．
2
11．（2012?枣庄）已知关于x的方程x+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．
2
解：∵方程x+mx﹣6=0的一根为2，设另一个为a，∴2a=﹣6，解得：a=﹣3，则另一根是﹣3．
22
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），当b﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
12．（2012?威海）若关于x的方程x+（a﹣1）x+a=0的两根互为倒数，则a= ． 解：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1， 由方程有解，得到△=b﹣4ac=（a﹣1）﹣4a≥0，解得：﹣1≤a≤，
又mn=a，∴a=1，解得：a=1（舍去）或a=﹣1，则a=﹣1．
点评： 此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），当b﹣4ac≥0时，方程有解，设此时方程的解为x1和x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
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年数
13．（2012?日照）已知x1、x2是方程2x+14x﹣16=0的两实数根，那么
2
的值为 ．
解：∵x1、x2是方程2x+14x﹣16=0的两实数根，∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1?x2=﹣8， ∴
=
=﹣
．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 三、解答题
14．（2012?菏泽）解方程：（x+1）（x-1）+2（x+3）=8． 14．解：原方程可化为 x2+2x-3=0．∴（x+3）（x-1）=0，∴x1=-3，x2=1． 15．（2012?滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ． 整理，得 ．解这个方程，得 ． 合乎实际意义的解为 ．答：应邀请 支球队参赛． 15．解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x-1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为根据题意，可列出方程1x（x-1）． 2111x（x-1）=28．整理，得x2-x=28， 222解这个方程，得 x1=8，x2=-7．合乎实际意义的解为 x=8．答：应邀请 8支球队参赛． 16．（2012?济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 16．解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得： x[120-0.5（x-60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x2=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100， ∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80， 答：该校共购买了80棵树苗．
2013年中考数学复习第九讲：分式方程
【基础知识回顾】
一、 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】 二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程： 2、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程的增根与无解并非用一个概念，无解完包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。】 三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】 【重点考点例析】
考点一：分式方程的概念（解为正、负数） 2x?a?1的解是正数，则a的取值范围是（ ） 例1 （2009?孝感）关于x的方程x?1A．a＞-1 B．a＞-1且a≠0 C．a＜-1 D．a＜-1且a≠-2
解：去分母得，2x+a=x-1，∴x=-1-a，∵方程的解是正数，∴-1-a＞0即a＜-1。 又因为x-1≠0，∴a≠-2。则a的取值范围是a＜-1且a≠-2 故选D． 点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视． 例2 （2012?鸡西）若关于x的分式方程2m?x2?1?无解，则m的值为（ ） x?3xA．-1.5 B．1 C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5
解：方程两边都乘以x（x-3）得：（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），即（2m+1）x=-6，① ①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=-0.5， ②∵关于x的分式方程2m?x2?1?无解，∴x=0或x-3=0，即x=0，x=3， x?3x当x=0时，代入①得：（2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），解得：此方程无解； 当x=3时，代入①得：（2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），解得：m=-1.5， ∴m的值是-0.5或-1.5，故选D． 点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中． 对应训练 1．（2010?牡丹江）已知关于x的分式方程是 a＞0且a≠2 ． 2．（2011?黑龙江）已知关于x的分式方程2a-=1的解为负数，那么字母a的取值范围 x?2x?2a2a?x?1-=0无解，则a的值为 ． x?1x2?xa2a?x?1-=0无解， 2x?1x?x2．解：去分母得ax-2a+x+1=0．∵关于x的分式方程（1）x（x+1）=0，解得：x=-1，或x=0， 当x=-1时，ax-2a+x+1=0，即-a-2a-1+1=0，解得a=0， 当x=0时，-2a+1=0，解得a=1． 2（2）方程ax-2a+x+1=0无解，即（a+1）x=2a-1无解，∴a+1=0，a=-1． 故答案为：0、1或-1． 2点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中． 考点二：分式方程的解法
例3 （2012?上海）解方程：x61?2?． x?3x?9x?3解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得 x（x-3）+6=x+3，整理，得x2-4x+3=0， 解得x1=1，x2=3． 经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．
点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根． 对应训练
3．（2012?苏州）解分式方程：314??2． x?2xx?2x11，经检验，x=是原方程的解． 223．解：去分母得：3x+x+2=4，解得：x= 考点三：分式方程的增根问题 例4 （2012?攀枝花）若分式方程：2+解：∵分式方程2+1?kx1=有增根，则k= ． x?22?x1?kx1=有增根，去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，整理得：（2-k）x=2， x?22?x2当2-k≠0时，x=；当2-k=0是，此方程无解，即此题不符合要求； 2?k1?kx12∵分式方程2+=有增根，∴x-2=0，2-x=0，解得：x=2，即=2，解得：k=1． x?22?x2?k点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行： ①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 对应训练 4．（2012?佳木斯）已知关于x的分式方程a?1=1有增根，则a= ． x?24．解：方程两边都乘以（x+2）得，a-1=x+2，∵分式方程有增根，∴x+2=0， 解得x=-2，∴a-1=-2+2，解得a=1． 考点四：分式方程的应用
例5 （2012?岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ 解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据题意得： 111??，解得：x=15，经检验x=15是原方程的根． x?5x6答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成； （2）根据题意得：15a+9b≤141，ab??1, 解得：a≤4 b≥9． 1015∵a、b都是整数 ∴a=4 b=9或a=2 b=12 点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 对应训练 5．（2012?珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5倍，购进数量比第一次少了30支． 4（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 5．解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，600600??30， 5xx4解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解． 答：第一次每只铅笔的进价为4元． （2）设售价为y元， 根据题意列不等式为：600600?(y?4)??(y?5)…420， 544?4解得，y≥6．答：每支售价至少是6元． 【聚焦山东中考】
1．（2012?莱芜）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（ ）
A． B． C． D．﹣
解：∵2⊕（2x﹣1）=1，∴﹣=1，去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），
解得x=，检验：当x=时，2（2x﹣1）≠0，故分式方程的解为x=． 故选A．
点评： 本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整
式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力． 2．（2012?潍坊）方程6660??0的根是 x=30 ． x?3x3．（2012?日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？ 3．解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得： 19361936?0.8?， xx?88整理得：0.8（x+88）=x，解之得：x=352，经检验x=352是原方程的解． 答：这个学校九年级学生有352人． 4．（2012?青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度． 4．解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时，根据题意得： 844520??，解这个方程，得x=75，经检验，x=75是原方程的解． 1.2xx60答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时． 5．（2012?临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的工每小时加工产品的数量． 5．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件， 根据题意可得：3倍，求手7180031800??，解方程得x=27，经检验，x=27是原方程的解， x72x?9答：手工每小时加工产品27件． 6．（2012?济南）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？ 6．解：设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，根据题意得出：8080??5， x2x解得：x=8，经检验得出：x=8是原方程的根，则2x=16， 答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元． 7．（2012?泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
2015年中考数学专题复习
