高考高中数学第12炼 复合函数零点问题1

高中数学

第12炼 复合函数零点问题

一、基础知识：

1、复合函数定义：设y?f?t?，t?g?x?，且函数g?x?的值域为f?t?定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y?f??g?x???

2、复合函数函数值计算的步骤：求y?g??f?x???函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知f?x??2,g?x??x?x，计算g??f?2???

x2解：f?2??2?4 ?g??f?2????g?4??12

23、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知f?x??2，g?x??x?2x，若g??f?x????0，求x

x2解：令t?f?x?，则g?t??0?t?2t?0解得t?0,t?2

2当t?0?f?x??0?2?0，则x??

x当t?2?f?x??2?2?2，则x?1

x综上所述：x?1

由上例可得，要想求出g??f?x????0的根，则需要先将f?x?视为整体，先求出f?x?的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：

4、函数的零点：设f?x?的定义域为D，若存在x0?D，使得f?x0??0，则称x?x0为f?x?的一个零点

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g??f?x????0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f?x?的方程，观察有几个f?x?的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f?x?的值求出每一个f?x?被几个x对应，将x的个数汇总后即为g??f?x????0的根的个数 6、求解复合函数y?g??f?x???零点问题的技巧：

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f?x?,g?x?的图像

（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f?x?的方程g??f?x????0中f?x?解的个数，再根据个数与f?x?的图像特点，分配每个函数值fi?x?被几个x所对应，从而确定fi?x?的取值范围，进而决定参数的范围

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复合函数： 二、典型例题

?1,x?1?2例1：设定义域为R的函数f?x???x?1 ，若关于x的方程f?x??bf?x??c?0由3个不同

?1,x?1?222的解x1,x2,x3，则x1?x2?x3?______

思路：先作出f?x?的图像如图：观察可发现对于任意的y0，满足y0?f?x?的x的个数分别为2个

2（y0?0,y0?1）和3个（y0?1），已知有3个解，从而可得f?x??1必为 f?x??bf?x??c?0的222根，而另一根为1或者是负数。所以f?xi??1，可解得：x1?0,x2?1,x3?2，所以x1?x2?x3?5

答案：5

22例2：关于x的方程?x?1??3x?1?2?0的不相同实根的个

2数是（ ） D. 8

A. 3 B. 4 C. 5 思路：可将x2?1视为一个整体，即t?x??x2?1，则方程变为

t2?3t?2?0可解得：t?1或t?2，则只需作出t?x??x2?1后统计与t?1与t?2的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数

的图像，然

f(x)?|x?11|?|x?|，关于x的方程f2(x)?af(x)?b?0（a,b?R）恰有6xx个不同实数解，则a的取值范围是 ． 思路：所解方程

故考虑作出f?x?的图像：f2(x)?af(x)?b?0可视为f?x??af?x??b?0，

2?2?x,x?1??2x,0?x?1f?x???， 则f?x?的图像如图，由图像可

??2x,?1?x?0?2??,x??1?x个不同实数解，则必有f1?x??2,0?f2?x??2，所以

知，若有6

?a?f1?x??f2?x???2,4?，解得?4?a??2

答案：?4?a??2

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?2x?1?1,0?x?2?例4：已知定义在R上的奇函数，当x?0时，f?x???1，则关于x的方程

?f?x?2?,x?2?26??f?x????f?x??1?0的实数根个数为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程6??f?x????f?x??1?0可解，得f1?x??221111,f2?x???，只需统计y?,y??与2323y?f?x?的交点个数即可。由奇函数可先做出

像，x?2时，f?x??x?0的图

图像只需将完成后可再可得共有7

1f?x?2?，则x??2,4?的2x??0,2?的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像

利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合个交点 答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

32例5：若函数f?x??x?ax?bx?c有极值点x1,x2，且f?x1??x1，则关于x的方程

3?f?x???2af?x??b?0的不同实根的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 思路：f'2?x??3x2?2ax?b由极值点可得：x1,x2为3x2?2ax?b?0 ①的两根，观察到方程①与

3?f?x???2af?x??b?0结构完全相同，所以可得3?f?x???2af?x??b?022的两根为

可判断出x1f1?x??x1,f2?x??x2，其中f1?x1??x1，若x1?x2，

是极大值点，

x2是极小值点。且

个交点，而断出x1是极

以

f2?x??x2?x1?f?x1?，所以y?f1?x?与f?x?有两f2?x?与f?x?有一个交点，共计3个；若x1?x2，可判

小值点，x2是极大值点。且f2?x??x2?x1?f?x1?，所

y?f1?x?与f?x?有两个交点，而f2?x?与f?x?有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点

答案：A

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例6：已知函数f?x??x2?4x?3，若方程??f?x????bf?x??c?0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（ ）

A. ??2,0? B. ??2,?1? C. ?0,1? D. ?0,2? 思路：考虑通过图像变换作出f?x?的图像（如图），因为

2??f?x????bf?x??c?0最多只能解出2个f?x?，若要出七

所以?b?f1?x??f2?x???1,2?，解f1?x??1,f2?x???0,1?，

2个根，则得

：

b???2,?1?

答案：B

例7：已知函数f?x??xex，若关于x的方程f2?x??mf?x??m?1?0恰有4个不相等的实数根，则实

数m的取值范围是（ ） A. ?,2??1?e???2,e? B. ??1?,1? C. e??1??1,1??? D.

e???1??,e? ?e??x,x?0??ex思路：f?x???，分析f?x?的图像以便于作图，

x??,x?0??exx?0时，

f'?x???1?x?e?x，从而f?x?在?0,1?单调递增，在?1,???f?1??1，且当x???,y?0，所以x正半轴为水平渐近线；e单调递减，当x?0时，从图像可得，

所以f?x?在???,0?单调递减。由此作图，f'?x???x?1?e?x，若恰有

4

个不等实根，则关于

f?x?的方程f2?x??mf?x??m?1?0中，

?1??1?f1?x???0,?,f2?x???,???，从而将问题转化为根分布问题，设t?f?x?，则t2?mt?m?1?0的

?e??e??g?0??0?m?1?0???1??1?2??1两根t1??0,?,t2??,???，设g?t??t?mt?m?1，则有??1?，1ee?m??m?1?0?????g???0??e2e??e?解得m??1,1?答案：C

4

??1?? e?高中数学

小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例8：已知函数f?x????ax?1,x?0，则下列关于函数y?f?f?x???1的零点个数判断正确的是（ ）

?log2x,x?0A. 当a?0时，有4个零点；当a?0时，有1个零点 B. 当a?0时，有3个零点；当a?0时，有2个零点 C. 无论a为何值，均有2个零点 D. 无论a为何值，均有4个零点

思路：所求函数的零点，即方程f??f?x?????1的解的个数，先作出f?x?的图像，直线y?ax?1为过定点?0,1?的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当a?0时，图像如图所示，先拆外层可得

21?0,f2?x??，而f1?x?有两个对应的x，f2?x?也有两个对应的x，共计4个；当a?0a211时，f?x?的图像如图所示，先拆外层可得f?x??，且f?x??只有一个满足的x，所以共一个零点。

22f1?x???结合选项，可判断出A正确 答案：A

2??1???x???1,x?0322?例9：已知函数f?x??x?3x?1,g?x????，则方程g??f?x????a?0（a为正实

2??x?3?1,x?0???数）的实数根最多有___________个

思路：先通过分析f?x?,g?x?的性质以便于作图，

f'?x??3x2?6x?3x?x?2?，从而f?x?在

???,0?,?2,???单增，在

?0,2?单减，且

即可，如图所的情况，由

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f?0??1,f?2???3，g?x?为分段函数，作出每段图像

示，若要实数根最多，则要优先选取f?x?能对应x较多