西华大学2014年专升本（高等数学）答案
二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
1、设f?(0)?a,则limf(??x)?f(0)?（ ?a ）
?x?0?x2、设f(x)的一个原函数是sinx，则?xf?(x)dx?（ xcosx?sinx?C ） 3、微分方程y???5y??6y?3xe2x的特解可设为
（ y*?x(ax?b)e2x ）
?4、幂级数?(?x)n的和函数为（ e?x ）n?0n!
5、设A???2?3?,则A?1?（ ???58???83??52?? ） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打?，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
1、点(0,0)是曲线y?sinx的拐点. ( √ ) 2、直线
x?1y?3z2??1?5与平面2x?y?5z?8?0相互垂直. ( √ )
3、如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内偏导数
?z?x,?z?y都存在，则函数z?f(x,y)在点(x0,y0) 处可微. ( ? )
?4、
??un是常数项级数，若limn?1n??un?0,则
?un收
n?1敛. ( ? )
5、设A,B是同型矩阵，则(A?B)(A?B)?A2?B2. ( ? )
三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，
总计240分）
1、求极限limxsinxx?0?.
解：limxsinxlim?sinxlnxx?0??xlim?0?esinxlnx?ex?0
lnx1?elimxlnxlim?1limx?x?0??ex?0?x?ex?0??x?2?e0?1.
2、求不定积分?xsinxcosxdx. 解：?xsinxcosxdx?12?xsin2xdx ??14?xdcos2x??14[xcos2x??cos2xdx]
??14[xcos2x?12sin2x]?C
3、求定积分
?ln20ex?1dx.
解：令t?ex?1，则x?ln(1?t2)， 故
?ln2x0e?1dx??12t0t1?t2dt ?2?1t2101?t2dt?2?t2?1?101?t2dt
?2(t?arctant)1?0?2(1?4).
4、设z?xyf(x2?y,x?y2),其中f是可微函数，求
?z?x,?z?y. 解：
?z?x?yf(x2?y,x?y2)?xy(2xf1??f2?), ?z?xf(x2?y?y,x?y2)?xy(f1??2yf2?). 四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）
? 1 、设 f ( x )???x2sin1,x?0?x,在x?0处可导，求?ax?b,x?0a,b的值.
解：因为f(x)在x?0处可导，故f(x)在x?0处连续。即limx?0f(x)?f(0)?b.
又limf(x21x?0)?xlim?0?f(x)?limx?0?xsinx?0. 因此b?0. 又f??(0)?f??(0)，
ff(x)?f(0)ax?b??(0)?xlim?0?x?lim?0x?0?x?a, f(0)?f(x)?f(0)??xlim?0?xx2sin1?0?x1xlim?0?x?limx?0?xsinx?0, 故a?0. 2求微分方程y??2y?e?x?0的通解.
解：通解为y?e??2dx[?e?xe?2dxdx?C]
?e?2x[?e?xe2xdx?C]?e?2x(ex?C)
3、判断下列正项级数的敛散性.
??3?(?1)n(1) n?13n解：因为0?3?(?1)n?3n?443n，又?n?13n收敛（等比?n级数），由比较审敛法得
?3?(?1)收敛。 n?13n (2)
??ln(1?1n?1n) ln(1?1解：因为limn)??1，又?1发散，由比较
n??1n?1nn?审敛法的极限形式得
?ln(1?1n)发散。
n?14、计算二重积分
??sinx2?y2dxdy，其中
DD??(x,y)|?2?x2?y2?4?2}.
解：
??sinx2?y2dxdy?D??sinrrdrd?D??2?0d??2?2??rsinrdr?2???rsinrdr
??2??2??rdcosr??2?[rcosr2????2??cosrdr]??2?[2??(??)?sinr2??]??6?2.
5、求I??(x?yLe)dx?(y?xey)dy，其中L是圆
周x2?y2?2x从点A(2,0)到原点O(0,0)的一段弧.
解：P(x,y)?x?ey,Q(x,y)?y?xey，
?P?Q?P?y?ey,?x?ey,故?y??Q?x， 曲线积分与路径无关。选择新路径AO，故
I??L??AO(x?ey)dx?(y?xey)dy??02(x?1)dx??4.
?ax1?2x2?3x36、当a,b取何值时，方程组??4,?2x2?bx3?2,,??2ax1?2x2?3x3?6有唯一解、无解、有无穷多解？
解：增广矩阵
?a234??a(A|B)???02b2????234??02b2??a236????
?2?0?2?3?2???a34???2?02b2?? ??00b?30??当b?3时，r(A|B)?r(A)?2?3，方程组有无穷多个解。
当b?3时，r(A|B)?r(A)?3，方程组有唯一解。 五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）
1、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)?0,又
g(x)??xf(t)dt?x1a?bf(t)dt，证明：g(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根.
证明：易知g(x)在[a,b]上连续，
g(a)??a1b1bf(t)dt???af(t)dt?0,g(b)??baf(t)dt??0,g(a)g(b)?0，
故由零点定理得，方程g(x)?0在(a,b)内至少存在一个根。 又g?(x)?f(x)?1f(x)?0,故方程g(x)?0在(a,b)内最多有一个根。
综上所述，方程g(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根.
2、求证：当x?0时，有不等式
x1?x?ln(1?x)?x. 证明：设f(x)?ln(1?x)，易知函数f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导且f?(x)?11?x， 由拉格朗日中值定理得：f(x)?f(0)?xf?(?)，
即f(x)?f(0)?x1??，其中0???x. 又
11?x?11???1，因此x1?x?ln(1?x)?x. 3、已知{an}是等差数列，an?0，证明级数??1n?1an发散.
证明：{an}是等差数列，an?0，故设
an?a1?(n?1)d,d?0。
?于是?1??n?1a?1，取v1n?nn?1a1?(n?1)dn，又
1lima1?(n?1)d1n??1?d n??而?11n?1n发散，由比较审敛法的极限形式得?发
n?1an散。
西华大学2015年专升本
（高等数学）答案
一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打?，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
??1、若级数?|an|收敛，则级数?(?1)nan也收敛. n?1n?1( √ )
2、函数y?x2ex是微分方程y???2y??y?0的解. ( ? )
3、无穷小量的倒数是无穷大量. ( ? )
、方程x2?z249?1在空间中所表示的图形是椭圆柱
面. ( √ )
5、n元非齐次线性方程组AX?B有唯一解的充要条件是r(A)?n. ( ? )
二、填空题（把答案填在括号中。本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）
1、已知f(x)是R上的连续函数，且f(3)?2,则
3xlim?3x2?2x??f?x?1??2??x2?5x?6????1?x???（ 2e?6 ）
2、由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz?（ dx?2dy ） 3、改变二次积分I??22y0dy?y2f(x,y)dx的次序，
则I?（
?4x0dx?xf(x,y)dy ）
24、f?(sin2x)?tan2x,(0?x?1)，则f(x)?（ ?x?ln(1?x)?C ）
三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）
2x1、求极限lim?x2tantdtx?01?cosx.
2x解：lim?x2tantdt2tan2x?2xtanx2x?01?cosx?limx?0sinx
2tan2x?2xtanx2?limx?0sinx?limx?0sinx ?lim4x?2x?0x?limx3x?0x?4 ?2、设f(x)???xsin1,x?0,求f?(?xx). ?0,x?0解：当x?0时，
f?(x)?sin1x?xcos1x(?1111x2)?sinx?xcosx.
当x?0时，
x1f?(0)?limf(x)?f(0)sinx?0x?limxx?0x?limsin1x?0x不存在。 3、求不定积分?cos5xsinxdx.
解：原式??(1?sin2x)2sinxdsinx
??(1?2sin2x?sin4x)sinxdsinx
159??(sin2x?2sin2x?sin2x)dsinx?23113sin2x?47227sinx?11sin2x?C 4、求曲线y?sinx,z?x2上点(?,0,?2)处的切线
和法平面方程. 解：y??cosx,z??12， y?|1(?,0,?/2)??1,z?|(?,0,?/2)?2， 故切线的方向向量为s?(1,?1,12)。
故切线方程为
x??yz??121??1?，
2法平面方程为(x??)?y?12(z??2)?0，即
x?y?12z?54??0.
5、求微分方程dx?xydy?y2dx?ydy的通解.
解：y(x?1)dy?(y2?1)dx，分离变量ydxyy2?1dy?x?1，两边积分?y2?1dy??dxx?1得，12ln(y2?1)?ln(x?1)?12lnC,故通解为
y2?1?C(x?1)2。
6、求由曲线y?x2,x?y?2及x轴所围成的区域绕x轴旋转所成立体的体积.
解：V???1220(x2)dx???1(2?x)2dx
???85?3?15?. 7、当a,b为何值时，线性方程组
??x1?x2?x3?x4?x5?a??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0?x2?2x3?2x4?6x5?b有解. 当其有解??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2时，求出其全部解.
??11111a?解：增广矩阵(A|B)??3211?30??? ?01226b??5433?12????11111a???0?1?2?2?6?3a???01226b?? ?0?1?2?2?62?5a????11111a???0?1?2?2?6?3a???00000b?3a??， ?000002?2a??当a?1或b?3a时，r(A)?r(A|B)，方程组无
解；
当a?1且b?3a?3时，r(A)?r(A|B)?2?5，方程组有无穷多个解，此时
??111111?(A|B)??0?1?2?2?6?3???000000???000000????10?1?1?5?2???0?1?2?2?6?3???000000?? ?000000????10?1?1?5?2???012263???， ?000000??000000??即??x1??2?x3?x4?5x5?x2?3?2x，
3?2x4?6x5??x1??2?x3?x4?5x5?x2?3?2x3?2x4?6x5亦即??xx?3?3
?x4?x4??x5?x5??x1???2???1???1????x????????5?23?2?2????0?????1??x????6x?即?3???3??0?x4??0?x?x??4??0????0???5。 ?1????0???x5????0????0???????0??1??故通解为
??x1???2???1???1????x??23???2??5??2????x??0?????1??k????6??3???1??0?k2??0?k?x????????????????0?3.其中?4001?x5????0????0???????0??1??k1,k2,k3为任意常数。
8、计算二重积分
??ln(1?x2?y2)dxdy,其中DD:x2?y2?R2(R?0),x?0,y?0.
解：原式
????ln(1?r2)rdrd???2R20d??ln(1?r)rdr
D0??R2?0ln(1?r2)rdr??R4?0ln(1?r2)d(r2?1)
??4[(r2?1)ln(r2?1)R??R(1?r2)dln(r200?1)]??4[(R2?1)ln(R2?1)?r2R0]
??24[(R2?1)ln(R?1)?R2]。
9、计算曲线积分I??Ly2xdy?x2ydx,其中L是
圆周x2?y2?a2,逆时针方向为正. 解：P(x,y)??x2y,Q(x,y)?xy2，
?P?y??x2,?Q?x?y2，由格林公式得 I??Ly2xdy?x2ydx??????Q?P?D??x??y??dxdy ???(x2?y2)dxdy???r2rdrd? DD??2?d??ar3?00dr?2a4。
10、判别级数的敛散性. ?(1)
?n!n?1nn
(答案)2014-2015年专升本(高等数学)
