（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可. 【详解】
解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30° （2）过点P作PH⊥AB于点H
在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=3PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=
3PH 3∴AB=AH-BH=
23PH=50 3解得PH=253＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全. 考点：解直角三角形 21．-1 【解析】 【分析】
原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值． 【详解】
解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1． 【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．（2）当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低，理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵，根据“购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200-a）棵，根据甲种树的数量不少于乙种树的数量的
1,可得2出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由甲种树的单价比乙种树的单价贵，即可找出最省钱的购买方案． 【详解】
解：（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵， 根据题意得：
?7x?4y?510 ， ?3x?5y?350??x?50 解得：?y?40.?答：甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵． （2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200﹣a）棵， 根据题意得：a?解得：a?1 ?200?a?，2200， 3∵a为整数， ∴a≥1．
∵甲种树的单价比乙种树的单价贵，
∴当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低． 【点睛】
一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用,读懂题目，是解题的关键.
23．（1）10，5元；（2）补图见解析；（3）在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖分别为10元、8.2元；（4）【解析】 【分析】
（1）根据中位数、众数的定义解答即可；（2）根据表格中的数据补全统计图即可；（3）根据计算平均数的公式求解即可；（4）根据扇形统计图，结合概率公式求解即可. 【详解】
（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是众数5元，
故答案为：10元、5元； （2）补全图形如下：
=10元，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的
3. 10
（3）在甲超市平均获奖为在乙超市平均获奖为（4）获得奖金10元的概率是【点睛】
=
=10（元），
=8.2（元）； ．
本题考查了中位数及众数的定义、平均数的计算公式及简单概率的求法，熟知这些知识点是解决本题的关键. 24．（1）?【解析】 【分析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【详解】 解：（1）原式?1a?1；（2）； 2a?1111???1, 422?11??1, 441??.
2a2?1a（2）原式??2,
aa?2a?1a?1??a?1????a?a?1. a?1a?a?1?2,
【点睛】
本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
25．（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线 段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，=∠ECF， 证出∠ECN=70°再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．试题解析：（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF， ∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中，
BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中，
CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF．
考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理. 26．（1）y1??0剟x250剟x50?30,?50,，y2??；（2）当35＜x＜1时，选择B方式能节
?3x?45,x?25?3x?100,x?50省上网费，见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解； （2）当35＜x＜1时，计算出y1-y2的值，即可得出答案． 【详解】
解：（1）由题意得：y1??0剟x25?30,；
?30?0.05?60?(x?25),x?250剟x25?30,即y1??；
3x?45,x?25?0剟x50?50,y2??；
50?0.05?60?(x?50),x?50?即y2??0剟x50?50,；
3x?100,x?50?（2）选择B方式能节省上网费
当35＜x＜1时，有y1＝3x－45，y2＝1． :y1-y2=3x－45－1＝3x－2．记y＝3x-2 因为3＞4，有y随x的增大而增大
【附5套中考模拟试卷】黑龙江省佳木斯市2024-2024学年中考数学模拟试题(4)含解析
