难点9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
11?x,F(x)=+f(x).
2?x1?x(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(★★★★★)设f(x)=log2
(2)若f(x)的反函数为f(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f(n)>
－1
－1
－1
－1
n; n?1(3)若F(x)的反函数F(x),证明：方程F(x)=0有惟一解. ●案例探究
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以
log8x1log8x2,点C、D坐标分别为?x1x2(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=
log8x1log8x2=3log8x1,log2x2??3log8x2,所以OC的log82log82斜率：k1=
log2x13log8x1, ?x2x1log2x23log8x2，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上. ?x2x2OD的斜率：k2=
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=
3
3
1log2x2,代入x2log8x1=x1log8x23得：x1log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x1=3x1.又x1>1,∴x1=3,则点A的坐标为(3，log83).
［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn用心 爱心 专心 - 1 -
位于函数y=2000(
ax)(0 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； * (3)设Cn=lg(bn)(n∈N),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目. 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题. 1an?解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()2. 210ax)(0 1010(2)∵函数y=2000( 或a>5(5－1).∴5(5－1) (3)∵5(5－1) 17n?2∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是 10当bn≥1时，Bn 17n?2bn+1<1,由bn=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20. 10●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个 x偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( ) x－xA.g(x)=x,h(x)=lg(10+10+2) 1用心 爱心 专心 - 2 - 11xx［lg(10+1)+x］,h(x)= ［lg(10+1)－x］ 22xxxC.g(x)=,h(x)=lg(10+1)－ 22xxxD.g(x)=－,h(x)=lg(10+1)+ 222. （广东省四校联合体2011-2012学年度首次联合考试）(★★★★)当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( ) B.g(x)= 二、填空题 3.(★★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数 ?2x (x?0)-－1 f(x)=?.则f(x－1)=_________. ?log2(?x) (?2?x?0)4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y= ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有 a. 8三、解答题 5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1), 当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点. (1)写出函数y=g(x)的解析式； (2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围. 6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断 x?x21［f(x1)+f(x2)］与f(1)的大小，并加以证明. 222222 7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.logax+logay=loga(ax)+loga(ay)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围. 8.(★★★★)设不等式2(log1x)+9(log1x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数 222 f(x)=(log2 xx)(log2)的最大、最小值. 28参考答案 难点磁场 解：(1)由 1?x>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则 1?x1?x21?x111??log2)+(log2) 2?x22?x11?x21?x1用心 爱心 专心 - 3 - F(x2)－F(x1)=(
2012年高考数学二轮难点透析 9 指数函数、对数函数问题概要
