sinx
e
20
sinx
2
(10)(01)2。
12．计算定积分
e
1
1
lnx
dx。x
e1
1lnx
解：dx
1
x
2
(1lnx)d(lnx)
2
lnx
12
e
lnx
1
2
32
。
13．计算定积分解：设当
0
x
2
4xdx。
2costdt。
x2sint，则dx
0；当x
x
2
0时，t
2
2时，t
2
2
。于是
2
x0
4xdx
20
(2sint)4(2sint)
2
2costdt
1cos4t
2
16
20
sintcostdt
22
4
20
sin2tdt
2
4
20
dt
220(1cos4t)dt
2t
12
2
sin4t
0
1
14．计算定积分
12
e
2x1
dx。
12
(1t2)，dx
解：设当x
112
2x12
时，
1t，则x
tdt。
t
1
0；当xtedt0
1
x
t
1时，t
t
1。于是1。
e
2x1
dxtee
t10
15．计算定积分解：
11
1x
|x|edx
01
|x|edxxedx
x
x
1001
xedx
xe
x
x
xe
16．计算广义积分解：
e
2
x
e
x10
2
2e
。
1
e
xlnx
e
dx。
2
1
e
xlnx
2
dxlnxd(lnx)
。
ln
1
x
e
b
lim
1lnb
11。
17．计算广义积分：
dxx
2
2x2
解：
dxx
2
d(x1)1(x1)
2
1
d(x1)1(x1)
2
1
d(x1)1(x1)
2
2x1
arctan(x1)|
1
arctan(x1)|1
22
18．计算广义积分：
sinx
12
x0
tdtdx。
解：
sinx
x0
tdtdx
2
xsinxdx，
2
由被积函数f(x)
x
xsinx在(
,)内是奇函数，可知，
sinx
0
tdt
3
dx0。
3
19．计算曲线
yx与yx所围成的平面图形的面积。
中心
解：画草图：如右所示。因为曲线所围成图形关于原点成对称，所以只算第一象限面积即可。
求交点：解方程组
3
yy
x
3
，可得曲线的三个交点为
x
M(1,1)，O(0,0)，N(1,1)。
算面积：取x为积分变量，则曲线所围成的平面图形的面积为
A
20(x
y
1
3
x)dx
2
3
332x4
4
1
14x4
1
0
20．求由曲线
x和直线y2x所围成的平面图形面积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
yy
x
2
2x
得
x1y1
00
,
x2y2
24
，从而得积分区间为[0，2]。
所以，所求平面图形面积为：A=
(2x0
2
x)dx
2
2
x
2
13
1
x
3
0
43
（平方单位）。
21.求由曲线yx和yx所围成的平面图形面积。
yy
x
2
解：作图如右，以
x为积分变量。解方程组
得
x
x1y1
00
,
x2y2
11
，从而得积分区间为[0，1]。
所以，所求平面图形面积为：A=
10
(xx)dx
2
23
3
1
x
2
13
x
3
0
13
（平方单位）。
22．求由曲线
yx和直线y
2
2x3所围成的平面图形面积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
yy
x
2
2x3
得
x1y11x2,1y2
39
，从而得积分区间为[-1，3]。
所以，所求平面图形面积为：
3
A=
1
(2x3x)dx
2
2
x
2
3x
13
x3
3
1
22
（平方单位）。3
23．求由曲线y
x和直线y
x6所围成的平面图形面积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
yy
x
2
x6
得
x1y13x2,9y2
24
，从而得积分区间为[-3，2]。
所以，所求平面图形面积为：
2
A=
3
(x6
2
x)dx
2
12
x
x
2
6x
13
2
x
3
3
13
16
24. 求由曲线y
x和直线y
6所围成的平面图形面积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
yy
xx
2
6
得
x1y12x2
,4y2
39
，从而得积分区间为[-2，3]。
所以，所求平面图形面积为：
3
A=
2
(x6x)dx
2
2
12
x
2
6x
13
x
3
x
3
2
18（平方
6
1
单位）。
25. 由曲线yx2x3和直线y3所围成的平面图形面积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
yy
xx
2
2x3
3
得
x1y1
03
,
x2y2
36
，从而得积分区间为[0，3]。
所以，所求平面图形面积为
3
A
0
(x332x
2
x
2
3
2x3)dx13
3
0
(3xx)dx
2
x
3
0
922
x所围成的平面图形面积。
2
26. 求由曲线yx和y
2
y
解：作图如右，以
x2
2
x为积分变量。解方程组
yx
得
x1y11x2,1y2
11
，从而得积分区间为[-1，1]。
所以，所求平面图形面积为：
1
A=
1
(2x
2
x)dx
x
2
2
2x
23
x3
1
1
8。3
27. 求由直线y
0和曲线y
1所围成的平面图形
绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。解：作图如右，以
x为积分变量.
2
解方程组
yy
x0
1
得
x1y1
10
,
x2y2
10
，从而得积分区间为[-1，1]。
所以，所求旋转体体积：V=
11
x
2
2
2
1dx
10
(x
4
2x
2
1)dx
15
x
5
23
1
x
3
x
1
1615
28. 求由直线y2x3和曲线yx所围成的平面图形绕
x轴一周旋转而成的旋转体体积。
解：作图如右，以x为积分变量。解方程组
所以，所求旋转体体积：
yy
x
2
2x3
得
x1y11x2,1y2
39
，从而得积分区间为[-1，3]。
3
V=
1
2x3
2
x
22
3
dx
1
912x4x
2.
xdx
4
=
9x6x
2
43
x
3
15
3
x
5
1
56
13
（立方单位）
29. 求由直线yx
2和曲线y
x所围成的平面图形绕
2
x轴一周旋转体积。
解：作图如右，以
x为积分变量。解方程组
yy
x
2
x2
得
x1y1
24
,
x2y2
11
，
从而得积分区间为[-2，1]。
所以，所求旋转体体积：V=
12
x2
2
x
2
2
dx
1
12
44xx
2
xdx
4
=
4x2x
2
13
x
3
15
x
5
2
14
25
（立方单位）
30求由曲线yx和x
22
y
2
2所围成的平面图形绕
x轴一周
旋转而成的旋转体体积。
解：作图如右，以
x为积分变量。解方程组
yx
2
x
22
得
x1y1
1
1
y2
,
x2y2
1
1
，从而得积分区间为[-1，1]。
所以，所求旋转体体积：
1
1
V=
1
2x
2
xdx
4
2x
13x315x5
1
4415
高职专升本第三章积分及其应用习题及答案 - 图文
