《数学分析》――参考答案及评分标准
一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
111. 求函数f(x,y)?3xsin?3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.
yx解： f(x,y)?131因此二重极限为0.……(4分) ?ysin?3x?3y，
yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，
x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)
3xsin
?y?y(x),?z?xf(x?y),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别
z?z(x)F(x,y,z)?0??dz具有连续的导数和偏导数,求.
dx解： 对两方程分别关于x求偏导:
dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分)
dydz?F?F?Fz?0。 xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)解此方程组并整理得?. ……(9分)
dxFy?xf?(x?y)Fz
3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程
?2z?2z?z???z。 ?x2?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.
22解：z看成是x,y的复合函数如下：
wx?yx?y。 ……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??e22代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：
?2w?2w?2w。 ……(9分) 2???????
4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数: S表?2?rh?2?r2,
约束条件: ?r2h?1。 ……(3分) 构造Lagrange函数：F(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。
?Fr?2?h?4?r?2?rh??0,令 ? ……(6分) 2F?2?r??r??0.?h14,h?3. 由题意知问题的最小值必存在，当底面半 解得h?2r，故有r?32??径为r?
y3314,高为h?3时，制作圆桶用料最省。 ……(9分) 2???xy?edx,计算F?(y).
25. 设F(y)?y2解：由含参积分的求导公式
?y3y322???x2yF?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xyy?y?y ???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y
yy3275x?y3?2ye?x2yx?y2 ……(5分)
72?y75?y51y3?x2yedx。 ……(9分) ?ye?ye?222y?y2
?x2y2?xy6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.
b?c?a?x?a?cos?,解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可
y?b?sin?.?以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
???ab???????,??0???,0???sin?cos??。 ……(3分) 22c????则
2V?2????(x,y)d?d??2?2d??0?(?,?)??1?ab?2?2sin?cos???c?0ab?d?
……(6分)
ab2sin?cos?d?2?0c
a2b2? ……(9分)2c2 .
7. 计算曲线积分?3zdx?5xdy?2ydz,其中L是圆柱面x2?y2?1与平面
?L22z?y?3的交线（为一椭圆），从z轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面z?y?3上由曲线L所围的部分作为Stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为
11?? ?cos?,cos?,cos????0,?,?。 ……(3分)
22??由Stokes公式得
cos?cos?cos????dS ?3zdx?5xdy?2ydz????x?y?z?L3z5x?2y ?2??dS ……(6分)
? ?2x2?y2?1??2dxdy
?2? ……(9分)
x2y2z28. 计算积分??yzdzdx,S为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.
abcS解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中
0???2?,0????2,且
?(z,x)?acsin2?sin?。 ……(3分)
?(?,?)积分方向向下，取负号，因此，
2322?d?bacsin?cos?sin?d?yzdzdx?????2??0?0 ……(6分)
??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?002?????4abc2
……(9分)
二。 . 证明题（共3题，共28分）
?xy3,x2?y2?0?249.（9分） 讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、
?0,x2?y2?0?可偏导性和可微性.
解：连续性：当x2?y2?0时，
xy2x2?y4yyf(x)?2?y????0，当?x,y???0,0?， 424x?yx?y22从而函数在原点?0,0?处连续。 ……(3分)
f?0??x,0??f?0,0??0，
?x?0?xf?0,0??y??f?0,0??0， fy?0,0??lim?y?0?y可偏导性：fx?0,0??lim
即函数在原点?0,0?处可偏导。 ……(5分) 可微性：?x2??y2?0lim?f?fx?x?fy?y?x??y22?x?y3?lim24?x2??y2?0?x??y1?x??y22 不存在，
从而函数在原点?0,0?处不可微。 ……(9分)
10.（9分） （9分） 设F?x,y?满足： （1）在D???x,y?x?x0?a,y?y0?b上连续，
?（2）F?x0,y0??0，
（3）当x固定时，函数F?x,y?是y的严格单减函数。 试证：存在??0，使得在???x?x?x0??上通过F?x,y??0定义了一个
?函数y?y(x)，且y?y(x)在??上连续。
证明：（i）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，F?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知F?x0,y0??0，从而由函数F?x0,y?的连续性得 F?x0,y0?b??0， F?x0,y0?b??0。
现考虑一元连续函数F?x,y0?b?。由于F?x0,y0?b??0，则必存在?1?0使得
F?x,y0?b??0， ?x?O(x0,?1)。
同理，则必存在?2?0使得
F?x,y0?b??0， ?x?O(x0,?2)。
取??min(?1,?2)，则在邻域O(x0,?)内同时成立
F?x,y0?b??0， F?x,y0?b??0。 ……(3分) 于是，对邻域O(x0,?)内的任意一点x，都成立
?固定此x，考虑一元连续函数F?x,y?。由上式和函数F?x,y?关于y的连续性可知，存在F?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得
F?x,y?＝0。
而F?x,y?关于y严格单减，从而使F?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，
Fx,y0?b?0， Fx,y0?b?0。
00???证明了对??:?O(x0,?)内任意一点，总能从F?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。
……(6分)
（ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。
设x*是??:?O(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。 对任意给定的??0，作两平行线
y?y*??， y?y*??。 由上述证明知
F?x*,y*????0， F?x*,y*????0。 由F?x,y?的连续性，必存在x*的邻域O(x*,?)使得
F?x,y*????0， F?x,y*????0， ?x?O(x*,?)。
对任意的x?O(x*,?)，固定此x并考虑y的函数F?x,y?，它关于y严格单减且
F?x,y*????0， F?x,y*????0。 于是在?y*??,y*???内存在唯一的一个零点y使
F?x,y??0，
即 对任意的x?O(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*??。这证明了函数
y?f(x)是连续的。 ……(9分)
11111.（10分）判断积分??sindx在0???2上是否一致收敛，并给出证明。
0xx证明：此积分在0???2上非一致收敛。证明如下：
1作变量替换x?，则
t11??11sindx??0x?x?1t2??sintdt。 ……(3分)
?3???不论正整数n多么大，当t??A?,A???@?2n??,2n???时，恒有
44??2sint?。 ……(5分)
2因此，
?A??1t2??A?sintdt?2A??1dt ……(7分) 2????A2t2?14t2?? ? ?
t?A??2?2??3???4?2n???4??因此原积分在0???2上非一致收敛。 ……(10分) 注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：
B1尽管对任意的B?1积分?sintdt一致有界，且函数2??关于x单调，但是当
1t1x???时，2??关于???0,2?并非一致趋于零。事实上，取t?n, 相应地取
t1111??2?，则lim2???lim1??1?0，并非趋于零。 1t??tn??nnnlimnnn???2??0，当??2?时。 4
专升本数学分析精选三试卷及答案
