2020 高考数学专题复习学案导数及其应用
【学法导航 】
导数是高中数学中较为重要的知识，
由于其应用的广泛性， 为我们解决所学过的有关函
导数的概念及其运算是导数应用
掌握
又
树立利用导
数问题提供了一般性方法， 是解决实际问题强有力的工具。 求导数的方法。 导数的应用是高考考查的重点和难点， 有具有一定能力要求的主观性试题， 数处理问题的意识．
高考资源网
的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，
题型既有灵活多变的客观性试题，
这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，
所以在复习中要重点把握以下几点： 一是导数的概念及其运算是导数应用的基础， 这是 以及 证明
高考重点考查的内容。 考查方式以客观题为主， 主要考查导数的基本公式和运算法则， 导数的几何意义； 二是导数的应用， 特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、
不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题．三是应用导数解决实际问题．
【专题综合 】
导数是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了 广阔天地， 处于一种特殊的地位， 高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质， 明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，
1. 利用导数处理方程问题 例 1（ 2020 江西卷文）设函数
把导数应
用于单调性、 极值等传统、 常规问题的同时， 进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证
它的解题又融合了转化、 分类讨论、 函数与方
程、数形结合等数学思想与方法，突出了对能力的考查
. 高考资源网
f ( x)
x3 9 x2 6x
2
a ．
（1）对于任意实数 （2）若方程 f (x) 解： (1) f ' (x)
因为 x 所以
x ， f ( x) m 恒成立，求 m 的最大值；
a 的取值范围． 2) ,
0 有且仅有一个实根，求 3x2 9x 6 (
3( x 1)(x
,
) , f ' ( x) m , 即 3x2 9x
m)
(6 m) 0 恒成立 ,
81 12(6
0 , 得 m
3
，即 m 的最大值为
3 4
4
1时 , f ' (2) 因为 当 x
所以 当 x
( x)
0 ;当 1 x 2 时 , f ' (x) 0 ; 当 x 2 时 , f ' ( x) 0 ;
1 时, f ( x) 取极大值
f (1) 5
2
a ;
当 x 故当 f (2)
2 时 , f ( x) 取极小值
f (2) 2 a ;
0 或 f (1) 0 时 , 方 程 f ( x) 0 仅 有 一 个实 根 . 解 得 a 2 或
a
5
2
.
2 利用导数研究函数的图像变化规律 例 3(2020 陕西卷文）已知函数
求 f ( x) 的单调区间； 若 f (x) 在 x
高考资源网
f (x)
x3 3ax
1,a 0
1 处取得极值，直线 y=m 与 y
f (x) 的图象有三个不同的交点，求
m
的取值范围。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m
解析：（1） f ' ( x)
3x2 3a 3( x2 a), 高考资源网
当 a 当 a 当 a
0时，对 x
R，有 f ' (x) 0,
0 时， f (x) 的单调增区间为 ( 0 时，由 f ' ( x) 0 解得 x
0 解得
a x
, ) a 或 x
a ；
由 f ' (x) 当 a
a ，
0 时 ， f (x) 的 单 调 增 区 间 为 (
a, a ) 。
, a ),( a,
) ； f ( x) 的 单 调 减 区 间 为
(
（2）因为 f (x) 在 x
1 处取得极大值， 高考资源网
3a 0,
a
1. 3,
所以 f ' ( 1) 3 ( 1)2 所以 f ( x) 由 f ' (x)
x3
3x 1, f ' ( x) 3x2
1, x2 1
0 解得 x1
由（ 1）中 f (x) 的单调性可知， 在 x
f ( x) 在 x 3
1 处取得极大值 f ( 1) 1，
1 处取得极小值 f (1)
因 为 直 线 y m 与 函 数 y
，
f ( x) 的 图 象有 三 个 不同 的 交点 ， 又 f ( 3) 19
3 ，
f (3) 17 1
结合 f (x) 的单调性可知， 3.利用导数证明不等式
m 的取值范围是 (
3,1)
例 3(2020 年山东卷理 )设函数 f ( x)
x2 b ln( x 1) ,其中 b 0 .
1
(I)当 b
2
时 ,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性
;
(II)求函数 f ( x) 的极值点 ; 高考资源网 (III)证明对任意的正整数
n ,不等式 ln(
1 n
1)
1
2
1 n
3 都成立 .
n 1,
解： (I) 函数 f ( x)
x2 b ln( x 1) 的定义域为 2x2 2x
x 1
.
f '(x)
2x
b x 1
2
b
，高考资源网
令 g( x)
2x
2x
b ，则 g( x) 在
1 , 2
上递增，在
1,
1 2
上递减，
g( x) min
g( 1 ) 2 1 2
1 2
b .
当 b
1 时， g( x)min 2
1 b 0 ，
2
g( x)
即当 b
2x2 2x b 0 在
时,函数 f (x) 在定义域
1,
上恒成立 .
f ' (x) 0,
1,
上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论： （1）由（ I）知当 b
1 2
时函数 f (x) 无极值点 .
（2）当 b
1 时， f '(x)
x
1, 时， f ' ( x) 0,
2
1
2
2(x 1) 2 2 ，
x 1
x
1 , 2
时， f ' (x) 0,
b
1
时，函数 f ( x) 在
1,
上无极值点。
2
（3）当 b
1 时，解 f ' ( x) 0 得两个不同解 高考资源网 2
1 2b 2
1
x1
1
1 2
2b
.
， x2
当 b 0 时， x1
1 1 2b
2
1， x2
1 1 2b 2
1，
x1 1,
, x2 1,
1, ,
此时 f (x) 在
上有唯一的极小值点
x2
1 1 2b 2
.
当 0
b
1 2
时， x1, x2
1,
, 高考资源网
f ' (x) 在
1, x1 , x2 ,
'
都大于 0 ， f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ，
1
1 2b 2
1
1 2b 2
.
此时 f (x) 有一个极大值点 x1
和一个极小值点 x2
1
x2
1 2b 2
综上可知， b
0 时， f ( x) 在 1,
上有唯一的极小值点
；
0
b
1 2
时， f (x) 有一个极大值点
x1
1
1 2b 2
和一个极小值点 x2
1
1 2b
；
2
b
1 2
时，函数
f ( x) 在 1,
上无极值点
（III） 当 b
令 h( x)
1时， f ( x) x2 ln( x 1).
x3
f (x) x3
高考资源网
x2 ln( x 1),
则 h' ( x)
3x3 ( x 1)2 在 0,
x 1
上单调递增，当 时，有 x3
上恒正，
h( x) 在 0,
即当 x
x 0,
时，恒有 h(x) h(0)
0 .
0,
x2 ln( x 1) 0, ln( x 1) x2 x3 ，
对任意正整数 n ，取 x
1 得 ln( 1) 1
n n n2
1 和定义域
2 ,0 b
1
1 n3 1,
点评：函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。 数的单调性是 f ' (x) 0 是 b
(I)通过判断导函数的正负来确定函
共同作用的结果； （II）需要分类讨论，
由（ I）可知分类的标准为
b
1
2
1
,b 2
0.（ III）构造新函数为证明不等式“服务” ，
构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。 一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，
用导数解决函数的单调性问题
究其原因， 应该有三条： 这里是知识的交
汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点
. 此类问题的一般步骤都能掌握，但重要
的是求导后的细节问题
------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类
应根据 f ( x) 导函数的特点迅速判断
讨论判断： 当参数给出了明确的取值范围后，
f ' ( x) 0
或 f ' (x)
0 。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，
再分为一类，用通法解决
.另外要注意由 f ' ( x) 0 求得的根不一定就是极值点，需要判断在
“极值点” . 高考资源网
该点两侧的异号性后才能称为
例 4 已知函数 f ( x) ln( x
1) x ， x
1 ，证明： 1
1 x 1 x
x 1
ln( x
1) x
证：函数 f ( x) 的定义域为 (
1,
) ． f ( x) ＝
1 x 1
－1＝－
当 x∈（－ 1，0）时， f ( x) ＞0，当 x∈（ 0，＋∞）时， f (x) ＜ 0， x ≤0∴ ln( x 1) 1
因此，当 x 令
1 时， f ( x) ≤ f (0) ，即 ln( x 1)
ln( x
1)
x ．
g( x)
1 x 1
1 g ( x)
则
1
＝
x (x 1)2
．高考资源网
x 1 ( x 1)2
∴ 当 x∈（－ 1，0）时， g (x) ＜0，当 x∈（ 0，＋∞）时， ∴ 当 x
g ( x) ＞ 0．
1时， g( x) ≥ g (0)
，即 ln( x
1)
1 x 1
． x
1
≥0，∴
ln( x
1)
1
综上可知，当 x
1
时，有
1
1 x 1
1 ． x 1
ln( x 1)
高考资源网
通过以上例题， 我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。 用导数证明不等式的关键是“构造函数”
总之， 利
，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高
等数学中应用的非常广泛，因此，希望同学门能认真对待，并通过适当的练习掌握它
【专题突破 】
1、．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 （ C ）
A．①、②
B．①、③
C．③、④ D ）
D．①、④
2、函数 f ( x)
x3 3x2 1是减函数的区间是（
B. (
A. (2, )
,2)
C . ( ,0) D.
(0,2)
3、若函数 f (x)
ax3 bx2
cx d (a 0) 为增函数，则（ D ）
A. b 2 4ac 0 B. b 0,c 0 C . b 0,c 0 D.b2 3ac 0
4、 ( ) 2 3 6 2 ( ) [ 2,2]
已知 f x x x a a是常数 在 上有最大值 3，那么在 [ 2,2] 上 f (x) 的
2020高考数学专题复习学案导数及其应用.docx
