专题一 集合与常用逻辑用语
第二讲 常用逻辑用语
答案部分
1．A【解析】若m ? ? ， n ? ? ， m ∥ n ，由线面平行的判定定理知m ∥? ．若m ∥? ，
m ? ? ， n ? ? ，不一定推出m ∥ n ，直线m 与n 可能异面，故“ m ∥ n ”是“ m ∥
? ”的充分不必要条件．故选 A．
b ， c ， d 不 2．B【解析】a ， b ， c ， d 是非零实数，若ad ? bc ，则 ? ，此时a ，
b d
a c
一定成等比数列；反之，若a ， b ， c ， d 成等比数列，则 ? ，所以ad ? bc ，所
a c
b d
以“ ad ? bc ”是“ a ， b ， c ， d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选 B．
3．A【解析】由 x? 8 ，得 x ? 2 ，由| x| ?2 ，得 x ? 2 或 x ? ?2 ，故“ x? 8 ”是“|x| ?2 ”
3 3
的充分而不必要条件，故选 A．
4．A【解析】由a ? 1 可得 ? 1 成立；当 ? 1 ，即 ?1 ? 1 1 1 1? a
? 0 ，
1
a a a a
解得a ? 0 或 a ? 1 ，推不出a ? 1 一定成立；所以“ a ? 1 ”是“ ? 1 ”的充分非必要
a
条件．故选 A．
5．B【解析】由2 ? x ≥ 0 ，得 x ≤ 2 ，由| x ?1|≤1 ，得0 ≤ x ≤ 2 ，
所以“ 2 ? x ? 0 ”是“ | x ?1|? 1”的必要而不充分条件．选 B．
6．B【解析】取 x ? 0 ，知 p 成立；若a2 ? b2 ，得| a |?| b | ， q 为假，所以 p ?? q 为真， 1
选 B．
7．A【解析】因为 m, n 为非零向量，所以 m ? n ?| m || n | cos ? m, n ?? 0 的充要条件是
cos ? m, n ?? 0 ．因为? ? 0 ，则由m ? ?n 可知m, n 的方向相反， ? m, n ，
所以cos ? m, n ?? 0 ，所以“存在负数? ，使得 m ? ?n ”可推出“ m ? n ? 0 ”；而
m ? n ? 0 可推出cos ? m,n ?? 0 ，但不一定推出 m, n 的方向相反，从而不一定推得
“存在负数? ，使得m ? ?n ”，所以“存在负数? ，使得m ? ?n ”是“ m ? n ? 0 ” 的充分而不必要条件．
1
8．C【解析】∵ (S6 ? S5 ) ? (S5 ? S4 ) ? a6 ? a5 ? d ，当d ? 0 ，可得 S4 +S6 ? 2S5 ；
当 S4 +S6 ? 2S5 ，可得d ? 0 ．所以“ d ? 0 ”是“ S4 +S6 ? 2S5 ” 充分必要条件，选 C．
9．A【解析】根据已知，如果直线a,b 相交，则平面?, ? 一定存在公共点，故其一定相交；
反之，如果平面?, ? 相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选 A．
2 2
b b b ，即 f ( x) ?[? , ??) ， 10．A【解析】当b ? 0 时， f ( x)min ??f (? ) ? ??
4 2 4
b 2 b2 b
而 f ( f ( x)) ? f (x) ) ? bf ( x) ? ( f ( x) ? ) ? 的对称轴也是? ，
2 4 2
2
b b2 b b 2
? ?
[? , ??) ，所以当 f (x) ?? 2 时， f ( f ( x))min ? ? ， 又 2 4 4
故 f ( f (x)) 的最小值与 f ( x) 的最小值相等；
另一方面，取b ? 0 ， f ( x) ? x与 f ( f (x)) ? x4 有相等的最小值 0，故选 A．
2
x ? 1 ”显然能推出“ 11．A 【解析】由“ x? 2x ?1 ? 0 ”，故条件是充分的；
又由“ x2 ? 2x ?1 ? 0 ”可得(x ?1)2 ? 0 ? x ? 1，所以条件也是必要的；故选 A．
2
12．D 【解析】若a ? b ? 0 ，取a ? 3, b ? ?2 ，则 ab ? 0 不成立；反之，若a ? ?2,b ? ?3 ，
则 a ? b ? 0 也不成立，因此“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的既不充分也不必要条件． 13．C【解析】∵ (?1,3) ? (??,3) ，所以 p 是q 成立的必要不充分条件．
14．A【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为
? x ?(0, ??) ， ln x ? x ?1 ，故应选 A．
15．A【解析】a＞b＞1 时，有log2 a ? log2 b ? 0 成立，反之也正确．
16．D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，
故选 D．
17．A 【解析】∵ cos 2? ? cos
2
? ? sin2 ? ，当sin ? ? cos? 时， cos 2? ? 0 ，充分性成
2
立；当cos 2? ? 0 时，即cos必要性不成立．
2
? ? sin2 ? ? 0 ，∴ cos? ? sin ? 或cos? ? ? sin ? ，
18．A【解析】a ?b ?| a | ? | b | cos ? a,b ? ，由已知得cos ? a,b ??1，即? a,b ?? 0 ，
a//b .而当a ∥ b 时， ? a,b ? 还可能是? ，此时 a ?b ? ? | a || b | ，
故“ a ?b ? a b ”是“ a//b ”的充分而不必要条件．
19．B【解析】∵ x ??(0, ) ，所以sin 2x ? 0 ．任意 x ??(0, ) ， k sin x cos x ? x ，等价
??
2
??
2
??2x
于任意 x ??(0, ) ， k ??．当 x ??(0, ) 时， 0 ? 2x ? ? ，设t ? 2x ，
sin 2x 2 2
则0 ? t ? ? ．设 f (t) ? t ? sin t ，则 f ?(t) ? 1? cos t > 0 ，所以 f (t) ? t ? sin t
??在(0,? ) 上单调递增，所以 f (t) ? 0 ，所以t ? sin t ? 0 ，即 所以任意 x ??(0, ) ， k ??
??t
? 1 ，所以k ≤1． sin t
2
2x
，等价于k ≤1．因为 k ≤1 ??k ? 1 ， sin 2x
但 k ≤1 ? k ? 1 ，所以“对任意 x ??(0, ) ， k sin x cos x ? x ”是
??2
“ k ? 1 ”的必要而不充分条件．
20．C【解析】设 f (x) ? x， f ?(0) ? 0 ，但是 f (x) 是单调增函数，在 x ? 0 处不存在极值， 故若 p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则 p 是一个真命题，故选 C．
a ?b
?，故“ a ? b ” ? “ sinA ? sin B ”． 21．A【解析】由正弦定理 3
sin A sin B
22．C【解析】把量词“ ? ”改为“ ? ”，把结论否定，故选 C．
23．A【解析】当a ? b ? 1 时， (a ? bi)2 ? (1? i)2 ? 2i ，反之，若(a ? bi)2 ? 2i ，
则有a ? b ? ?1 或a ? b ? 1 ，因此选 A．
24．C【解析】由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题q 为假命题，故① p ? q 为假
命题，② p ? q 为真命题，③ ?q 为真命题，则 p ? (?q) 为真命题，④ ? p 为假命题， 则(?p) ? q 为假命题，所以选 C． 25．A【解析】从原命题的真假人手，由于
an ? an?1
2
? a ? a
? a ? ?a ?为递减数列，
n
n
n n?1
即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选 A．
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专题一 集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语答案
