增分点 用导数解决函数的零点问题
处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．
近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．
讨论函数零点的个数 1[典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x.
4(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
[思路演示]
解：(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0,0)， 则f(x0)＝0，f′(x0)＝0，
1??x0＝2，3＋ax＋＝0，?x00
4即?解得?3??3x2a＝－0＋a＝0，?4.
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因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．
4(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0， 从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0， 故h(x)在(1，＋∞)上无零点．
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当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1
44是h(x)的零点；
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若a<－，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故x＝1不是h(x)的零点．
4当x∈(0,1)时，g(x)＝－ln x>0， 所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数．
①若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调． 15而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a≥0时，f(x)
44在(0,1)上没有零点．
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②若－3 若f? ??a??－上单调递减，在 3??a?－，1上单调递增，故在 3?a?2a－＝3 3?a1－＋. 34 a?－时，f(x)取得最小值，最小值为f 3? ?? ?? 3a? －＞0，即－4＜a＜0，则f(x)在(0,1)上无零点． 3? 3a? －＝0，即a＝－4，则f(x)在(0,1)上有唯一零点． 3? 31553a? －<0，即－3 若f 若f? 5 在(0,1)上有两个零点；当－3 4 3535 综上，当a>－或a<－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝－时，h(x)有两个零点； 444453 当－ 44 [解题师说] 对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个： 分离 参数 构造 新函数 得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况 求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性 m[典例] (文)设函数f(x)＝ln x＋x，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； x (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 3[方法演示] e 解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋x， 则f′(x)＝ x－e ， x2 ∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， e∴f(x)的极小值为2. 2 x1mx (2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)， 3xx31 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)． 31 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 3 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 2 ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0， 3结合y＝φ(x) 的图象(如图)， 可知， 2 ①当m＞时，函数g(x)无零点； 3 2 ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； 3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 2 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 32 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． 3 [解题师说] 3
增分点 6 用导数解决函数的零点问题
