立体几何
考点一 空间点，线，面的位置关系 知识框架
共面 平行—没有公共点
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
（4）异面直线的判定：
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 练习巩固
1. 判断下列结论是否正确(请在括号内打“”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面??，??有一条公共直线a，就说平面??，??相交，并记作??∩??=??.( )
(2)两个平面??，??有一个公共点A，就说??，??相交于过A点的任意一条直线．( ) (3)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(5)若a，b是两条直线，??，??是两个平面，且?????，?????，则a，b是异面直线．( ) 2. 给出以下说法：
①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面； ③没有公共点的两条直线是异面直线；
⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是________．
3. ??,??是两个不同的平面，??,??是两条不同的直线，有下列四个命题：
①如果??⊥??,??⊥??,??//??,那么??⊥??；②如果??⊥??,??//??，那么??⊥??；
那么??//??； ④如果??//??,??//??,那么m与??所成的角和n与??所成③如果??//??,??//??，
的角相等．
其中正确的命题有_________.(填写所有正确命题的编号)
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4. 已知互相垂直的平面??，??交于直线l，若直线n满足??⊥??，则n与??____(填“一定”
或“不一定”)垂直． 5. 如图，棱长为1的正方体???????????1??1??1??1中，P为线段??1??上的动点(不含端点)，则
下列结论正确的序号是____________(写出所有正确结论的序号)
①平面??1??1??⊥平面??1???? ②∠??????1的取值范围是(0,2] ③三棱锥??1???1????的体积为定值 ④????1⊥??1??
6. 如图所示，正方体???????????1??1??1??1中，M，N分别为棱??1??1，??1??的中点，有以下四
个结论：
?①直线AM与????1是相交直线; ?②直线AM与BN是平行直线; ?③直线BN与????1是异面直线; ?④直线AM与????1是异面直线．
其中正确的结论为 .(注：把你认为正确的结论序号都填上) 7. （多选）设m，n是两条不同的直线，??，??是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若??⊥??，?????，?????，则??⊥?? B. 若??⊥??，??//??，??//??，则??⊥?? C. 若??⊥??，?????，?????，则??⊥??
D. 若??∩??=??，??∩??=??，??∩??=??，??//??，则??//??． 考点二 线面平行 知识框架
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理） ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）
⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理） ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4） (2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，
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??
则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a?α,b?α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理） ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l?α，则l∥β. 练习巩固
1. 如图，点P在正方体???????????1??1??1??1的面对角线????1上运动，则下列四个结论：
①三棱锥?????1????的体积不变；②??1??//平面??????1； ③????⊥????1； ④平面??????1⊥平面??????1． 其中正确的结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
?????? =2??????? 2. 点M是棱长为3的正方体???????????1??1??1??1中棱AB的中点，????????1，动点P在正
方形????1????1(包括边界)内运动，且????1//面DMN，则PC的长度范围为( )
A. [√13,√19]
B. [
3√35,√19] 5
C. [2√3,√19] D. [
3√39,√19] 5
3. 如图，在直三棱柱?????????1??1??1中，????=????=2，∠??????=120°，D是AB上一点，
且????=2????，E是????1的中点，F是????1上一点．当????=1时，????//平面CDE，则三棱柱?????????1??1??1，外接球的表面积为( ) A. 24?? B. 32?? C. 36?? D. 40??
4. 如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有
__________.(填上所有正确命题的序号)
①????⊥???? ②????=???? ③????//截面PQMN ④异面直线PM与BD所成的角为45°
5. 如图，已知在三棱锥?????????中，????⊥平面ABC，??,??,??分别为????,????,????的中点，且
????=2????．
(1)求证：????⊥????．
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(2)设平面EFG与BC交于点H，求证：H为BC的中点．
6. 如图，在四棱锥???????????中，????⊥底面ABCD，????//????，∠??????=90°，????=????=
????=2????=2，E为PB的中点，F是PC上的点． (1)若????//平面PAD，证明：F为PC的中点． (2)求点C到平面PBD的距离．
7. 如图，在四棱锥???????????中，底面ABCD是平行四边形，点E在PC上，????=3????，
????=3． (1)证明：????//平面ABE．
(2)若M是BC的中点，点N在PD上，????//平面ABE，求线段PN的长．
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考点三 线面垂直
直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)
练习巩固
1. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑???
??????中，????⊥平面BCD，且????⊥????，????=????=????，则直线AC与平面ABD所成角的正切值是
A. √3 B. √ C. √2 D. √ 32
2. 棱长为l的正方体???????????1??1??1??1中，P为正方体表面上的一个动点，且总有????⊥
????1，则动点P的轨迹的长度为
A. 4??
3
32B. 4??
C. 3√2 D. 4√2
3. 已知点??∈平面??，点???平面??，点P在平面??上的投影为O，点??∈平面??，点???直
线????.记，，，则下列结论中一定成立的是( )
A. cos???=cos???1?cos???2 B. cos???=cos???1+cos???2 C. sin???=sin???1?sin???2 D. sin???=sin???1+sin???2
4. 若点N为点M在平面??上的正投影，则记??=????(??).如图，在棱长为1的正方体
???????????1??1??1??1中，记平面????1??1为??，平面ABCD为??，点P是线段????1上一动点，??1=????[????(??)],??2=????[????(??)].给出下列四个结论：
①??2为△????1??1的重心；
；
③当????=5时，????1//平面??；
④当三棱锥??1???????1的体积最大时，三棱锥??1???????1外接球的表面积为2??． 其中，所有正确结论的序号是________________．
5. 正四棱锥???????????底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上
??? =0，则动点P的轨迹的周长为___________． ??? ???运动，并且总保持??????????
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江苏省2021届高三数学高考一轮复习立体几何专题
