立体几何
考点一 空间点,线,面的位置关系 知识框架
共面 平行—没有公共点
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行,又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
(4)异面直线的判定:
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 练习巩固
1. 判断下列结论是否正确(请在括号内打“”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面??,??有一条公共直线a,就说平面??,??相交,并记作??∩??=??.( )
(2)两个平面??,??有一个公共点A,就说??,??相交于过A点的任意一条直线.( ) (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
(5)若a,b是两条直线,??,??是两个平面,且?????,?????,则a,b是异面直线.( ) 2. 给出以下说法:
①不共面的四点中,任意三点不共线; ②有三个不同公共点的两个平面重合; ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面; ③没有公共点的两条直线是异面直线;
⑤一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是________.
3. ??,??是两个不同的平面,??,??是两条不同的直线,有下列四个命题:
①如果??⊥??,??⊥??,??//??,那么??⊥??;②如果??⊥??,??//??,那么??⊥??;
那么??//??; ④如果??//??,??//??,那么m与??所成的角和n与??所成③如果??//??,??//??,
的角相等.
其中正确的命题有_________.(填写所有正确命题的编号)
第 1 页,总 13 页
4. 已知互相垂直的平面??,??交于直线l,若直线n满足??⊥??,则n与??____(填“一定”
或“不一定”)垂直. 5. 如图,棱长为1的正方体???????????1??1??1??1中,P为线段??1??上的动点(不含端点),则
下列结论正确的序号是____________(写出所有正确结论的序号)
①平面??1??1??⊥平面??1???? ②∠??????1的取值范围是(0,2] ③三棱锥??1???1????的体积为定值 ④????1⊥??1??
6. 如图所示,正方体???????????1??1??1??1中,M,N分别为棱??1??1,??1??的中点,有以下四
个结论:
?①直线AM与????1是相交直线; ?②直线AM与BN是平行直线; ?③直线BN与????1是异面直线; ?④直线AM与????1是异面直线.
其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论序号都填上) 7. (多选)设m,n是两条不同的直线,??,??是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A. 若??⊥??,?????,?????,则??⊥?? B. 若??⊥??,??//??,??//??,则??⊥?? C. 若??⊥??,?????,?????,则??⊥??
D. 若??∩??=??,??∩??=??,??∩??=??,??//??,则??//??. 考点二 线面平行 知识框架
(1)两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ
④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b(线面垂直的性质定理) ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b(面面平行的性质公理)
⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……,α∩β=b,则a∥b.(线面平行的判定定理) ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.(公理4) (2)两直线垂直的判定
①定义:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α,a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,
第 2 页,总 13 页
??
则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
(3)直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即若a?α,b?α,a∥b,则a∥α.(线面平行的判定定理) ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,l?α,则l∥β. 练习巩固
1. 如图,点P在正方体???????????1??1??1??1的面对角线????1上运动,则下列四个结论:
①三棱锥?????1????的体积不变;②??1??//平面??????1; ③????⊥????1; ④平面??????1⊥平面??????1. 其中正确的结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
?????? =2??????? 2. 点M是棱长为3的正方体???????????1??1??1??1中棱AB的中点,????????1,动点P在正
方形????1????1(包括边界)内运动,且????1//面DMN,则PC的长度范围为( )
A. [√13,√19]
B. [
3√35,√19] 5
C. [2√3,√19] D. [
3√39,√19] 5
3. 如图,在直三棱柱?????????1??1??1中,????=????=2,∠??????=120°,D是AB上一点,
且????=2????,E是????1的中点,F是????1上一点.当????=1时,????//平面CDE,则三棱柱?????????1??1??1,外接球的表面积为( ) A. 24?? B. 32?? C. 36?? D. 40??
4. 如图在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中正确的有
__________.(填上所有正确命题的序号)
①????⊥???? ②????=???? ③????//截面PQMN ④异面直线PM与BD所成的角为45°
5. 如图,已知在三棱锥?????????中,????⊥平面ABC,??,??,??分别为????,????,????的中点,且
????=2????.
(1)求证:????⊥????.
第 3 页,总 13 页
(2)设平面EFG与BC交于点H,求证:H为BC的中点.
6. 如图,在四棱锥???????????中,????⊥底面ABCD,????//????,∠??????=90°,????=????=
????=2????=2,E为PB的中点,F是PC上的点. (1)若????//平面PAD,证明:F为PC的中点. (2)求点C到平面PBD的距离.
7. 如图,在四棱锥???????????中,底面ABCD是平行四边形,点E在PC上,????=3????,
????=3. (1)证明:????//平面ABE.
(2)若M是BC的中点,点N在PD上,????//平面ABE,求线段PN的长.
第 4 页,总 13 页
1
考点三 线面垂直
直线与平面垂直的判定
①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α,n?α,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.(线面垂直判定定理)
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α∥β,l⊥β,则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α⊥β,a∩β=α,l?β,l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)
练习巩固
1. 在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑???
??????中,????⊥平面BCD,且????⊥????,????=????=????,则直线AC与平面ABD所成角的正切值是
A. √3 B. √ C. √2 D. √ 32
2. 棱长为l的正方体???????????1??1??1??1中,P为正方体表面上的一个动点,且总有????⊥
????1,则动点P的轨迹的长度为
A. 4??
3
32B. 4??
C. 3√2 D. 4√2
3. 已知点??∈平面??,点???平面??,点P在平面??上的投影为O,点??∈平面??,点???直
线????.记,,,则下列结论中一定成立的是( )
A. cos???=cos???1?cos???2 B. cos???=cos???1+cos???2 C. sin???=sin???1?sin???2 D. sin???=sin???1+sin???2
4. 若点N为点M在平面??上的正投影,则记??=????(??).如图,在棱长为1的正方体
???????????1??1??1??1中,记平面????1??1为??,平面ABCD为??,点P是线段????1上一动点,??1=????[????(??)],??2=????[????(??)].给出下列四个结论:
①??2为△????1??1的重心;
;
③当????=5时,????1//平面??;
④当三棱锥??1???????1的体积最大时,三棱锥??1???????1外接球的表面积为2??. 其中,所有正确结论的序号是________________.
5. 正四棱锥???????????底面边长为2,高为1,E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上
??? =0,则动点P的轨迹的周长为___________. ??? ???运动,并且总保持??????????
第 5 页,总 13 页
4
江苏省2021届高三数学高考一轮复习立体几何专题
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)