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高考压轴题-不等式证明方法 郑紫灵2012.12
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题。其中用的最多的是放缩法，而放缩法有四个最基本的 1.先求和再放缩。
（1）直接用等差或等比的求和公式求和 例1．求证1?111??...?n?1?2?n?N*? 242n?1?1-??n??11112????=2?1-????2。 证明：1???...?n?1=1242???2???1-2（2）. 先裂项相消求和再放缩。 例2.求证
1111???...??1?n?N*? 1?22?33?4n?(n?1)证明：
11111?1??11??11????...?=?1-?+?-?+...+?-=1-?1。 ?1?22?33?4n?(n?1)?2??23?nn+1n+1??例3．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?
anan?1222解：（1）由已知得4Sn?(an?1)，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)，作差得：224an?an?2an?an所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数?1?2an?1，
列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1 （2）bn?11111??(?)，所以
anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1Bn?111111111(1?????)??? 23352n?12n?122(2n?1)2注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这
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里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
123n?2?3?...?n?2?n?N*? 2222nan?ba(n?1)?b证明：令n?n?1?，通过比较系数得到a=b=1.
222nnn?1(n?1)?1， ??2n2n?12n例4.求证
123n?3?2?3?...?n??2?2222?2(n?1)?1??34??n?1(n?1)?1????...???2??2???n?1?2?nn22222?????122232n2例5.求证?2?3?...?n?6?n?N*?
22222n2an2?bn?ca(n?1)?b?n?1??c?证明：令n?，通过比较系数得到a=1，b=2，c=3.
22n?12n2n2n2?2n?3(n?1)?2?n?1??3?所以n?， n?1n222(n?1)2?2?n?1??3123n?6 所以?2?3?...?n?6?22222n例6.求证
11111???...???n?N*?
1?2?32?3?43?4?5n?(n?1)?n?2?41kk1??，比较系数得到k?，
n?(n?1)?n?2?n?(n?1)(n?1)?n?2?2证明：令
?11?11???， ??n?(n?1)?n?2?2?n?(n?1)(n?1)n?2?????1111111?1???...????? ???1?2?32?3?43?4?5n?(n?1)?n?2?42?(n?1)?n?2??4例7．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?
anan?1222解：（1）由已知得4Sn?(an?1)，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)，作差得：
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224an?an?2an?an所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数?1?2an?1，
列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1 （2）bn?11111??(?)，所以
anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1Bn?111111111(1?????)??? 23352n?12n?122(2n?1)2注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
2例8.已知数列{an}中，满足an?1?an?an，a1?1， 2（1）求证：an?1?an； （2）求证：1?111?????2(n?2,n?N*)
1?a11?a21?an1 ∴a2,a3,?an都大于0 22解： （1）an?1?an?an ∵a1?2∴an?0 ∴an?1?an
（2）
1an?1?1111??? 2an?anan(1?an)an1?an111??
1?ananan?1∴
所以
111111111???????????? 1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1?111??2? a1an?1an?1∵a2?()?1221333?, a3?()2??1 , 2444又∵n?2an?1?an
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∴an?1?a3?1 ∴1?2?1an?1?2
2.添加或舍弃一些正项（或负项）
n*例9、已知an?2?1(n?N).求证：
an1a1a2????...?n(n?N*). 23a2a3an?1分析：要证
?a1??a1??a1?an1a1a21????...?n，即证?1-???2-??...??n-?>?， 23a2a3an?13?a22??a32??an?12?缩小成一个等比数列求和，再放缩。 证明：
ak2k?11111111?k?1???????,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23?2k?2k?2232k
?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223
an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?12若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k?2，从而是使和式得到化简.
3.固定一部分项，放缩另外的项； 例10、求证：
111???122232?17? n24证明：
1111??? 2nn(n?1)n?1n?111?2?2?2123?1111?1??(??22n223?115117?)??(?)?. n?1n42n4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 4.改变放缩的方式
例11. 已知数列?an?中an?放缩一：
1111S??2?2，证明：n22n123?15? 2n31111???(n?2) n2n(n?1)n?1nSn?111??122232?1111111111?(????)?(????n212223242525667?11?) n?1n WORD格式
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＝1?13121113121238924005???1???1??1??. 36400n36400360036003点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？ 放缩二：
111111???(?),(n?2) 22nn?1(n?1)(n?1)2n?1n?111111111111????(?)?(????222222123n122243551111151115??(???)??(?)?. 4223nn?142233Sn??1111???) n?2nn?1n?1点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？ 放缩三：
1111111???(?)?2(?),(n?1) 211111n2n?12n?1n2?(n?)(n?)n?n?42222Sn?111??122232?11111?1?2(????n23557?11115?)?1?2(?)?2n?12n?132n?13 本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越
小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。
一．逐一放缩法 例12.设an?1?11111?1??n?N*?，Sn?a1?a2?a3?...?an，Tn?1???...?，nn23n求证：
7Sn?2n3??。 5Tn2
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8高考压轴题 - 不等式证明方法
