【思考1】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动
（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE?EC，且AD?DE?AB?a． （1）求证：?ADE∽?BEC； （2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD?BC?CD；
（3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周
长；若无关，请说明理由．
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第25题（1）
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】 △ABC是等边三角形，P为平面的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=
第25题（2） 3． 5点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点
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M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值围。 A A D D P M
B C B O N C
（备用图）
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=
出自变量x的取值围.
4,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，SP1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写3
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营
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的去解答。
第三部分 思考题解析 【思考1解析】
（1）证明：∵ DE?EC，∴ ?DEC?90?．∴ ?AED??BEC?90?． 又∵ ?A??B?90?，∴ ?AED??EDA?90?． ∴ ?BEC??EDA．∴ ?ADE∽?BEC． （2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F， ∵ E是AB的中点，容易证明EF?12(AD?BC)． 在Rt?DEC中，∵ DF?CF，∴ EF?12CD． ∴
1第25题
2(AD?BC)?12CD． ∴ AD?BC?CD．
（3）解：?AED的周长?AE?AD?DE?a?m，BE?a?m． 设AD?x，则DE?a?x．
∵ ?A?90?，∴ DE2?AE2?AD2．即a2?2ax?x2?m2?x2．
∴ x?a2?m22a．
由（1）知?ADE∽?BEC，
a2?m2 ∴ ?ADE的周长AD?BEC的周长?BE?2aa?m?a?m2a． ∴ ?BEC的周长?2aa?m??ADE的周长?2a． ∴ ?BEC的周长与m值无关．
【思考2答案】
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解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD．
解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， AP ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD．
B12D34C ∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 图8 ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD． ∴ ?3??4?12?ACB?30?． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA =BC=AC． ∵ DB=DA，
∴ CD垂直平分AB． ∴ ?3??4?12?ACB?30?． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC．
∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．
A
PAA P或D DB CCBCB 图9 图10 PD
【思考3解析】
解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=35得BE=3． ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
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∴AD=EC=BC－BE=3． 当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
∵
BHBO?cosB,∴BH=3?35?95． ∴BP=185．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC- 设BO=x，则PO=x,由
BHx?cosB?35，得BH=35x, ∴BP=2BH=
65x. ∴BQ=BP×cosB=
182425x，PQ=25x． ∴OQ=x?18725x?25x．
24∵△PQO∽△DOC，∴PQDCx4OQ?OC即257?，得x?29x6?x6． 25当x?296时，BP=65x=295＞5=AB，与点P应在边AB上不符， ∴不存在BP=MN的情况.
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分 情况二：⊙O与⊙C相切，此时，0＜CN≤
73.-------8分 A
D
P
M H B
Q O N C
【思考4解析】
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中考总复习之动点问题经典习题及答案
