第八章
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的
解: 如题8-2图示
Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e2?4π?(2lsin?)0?
解得 q?2lsin?4??0mgtan?
8-11 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．
???q解: 高斯定理?E?dS?
s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl
??则 ?E?dS?E2πrl 对(1) r?R1 ?q?0,E?0
S(2) R1?r?R2 (3) r?R2
?q?l? ∴ E?? 沿径向向外
2π?0r?q?0 ∴ E?0
题8-12图
8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
??11??(?1??2)n ?1面外， E??(?1??2)n 两面间， E?2?02?0?1??(?1??2)n n：垂直于两平面由?1面指为?2面． ?2面外， E?2?08-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
?E(1) ??球在O点产生电场10?0， ?球在O点产生电场E2043πr??3OO' 4π?0d3?r3?∴ O点电场E0?OO'；
3?0d3?43?d???E?3OO' 球在产生电场O20??0 34π?0d(2) ??在O?产生电场E10???OO' ∴ O? 点电场 E0??3?0
题8-13图(a) 题8-13图(b)
??(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如题8-13(b)图)
?????r?r?则 EPO?， EPO???,
3?03?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? ∴腔内场强是均匀的． (r?r?)?OO'?3?03?03?08-16 如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的
解: 如题8-16图示 UO?1qq(?)?0 4π?0RRUO?qoq1qqq ∴A?q0(UO?UC)? (?)??4π?03RR6π?0R6π?0R8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
题8-17图
E??dEy??2???????Rd??? ［］ sin(?)?sincos??4π?R24π?R2π?R220002?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0
U1??同理CD产生U2?AB2R?dx?dx????ln2 R4π?x4π?0x4π?00?πR??ln2 半圆环产生U3?? 4π?04π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?02
8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0
-7
mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
题8-22图
(1)∵ UAC?UAB，即
∴EACdAC?EABdAB ∴
?1EACdAB???2 ?2EABdAC且 ?1+?2?qAq2qA 得?2?A, ?1? S3S3S而qC???1S??2qA??2?10?7C 3qB???2S??1?10?7C
(2) UA?EACdAC??1dAC?2.3?103V ?08-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计
(1) (2) *(3) 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题8-23图
U???R2???E?dr??R2qdrq?
4π?0r24π?0R(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：U?q4π?0R2?q4π?0R2?0
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0
4π?0R2得q??R1q'q'?q?q'?R1?R2?qq 外球壳上电势 UB???? 2R24π?0R24π?0R24π?0R24π?0R28-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两
柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求： (1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量；
(3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S)
??则?D?dS?2πrlD 当(R1?r?R2)时，?q?Q
(S)D2Q2Q?222 ∴D? (1)电场能量密度 w?2?8π?rl2πrlQ2Q2dr2πrdrl?薄壳中 dW?wd??
8π2?r2l24π?rl(2)电介质中总电场能量 W?dW?V??R2R1RQ2drQ2?ln2 4π?rl4π?lR1Q2Q22π?l(3)电容：∵ W? ∴ C? ?2C2Wln(R2/R1)第九章
题9-7图
?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半
径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．
解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中
?
??I产生 B1?0 产生B2?0，方向垂直向里
12R
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