江苏省南通市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知?ABC中内角A,B,C所对应的边依次为a,b,c，若2a=b?1,c?7,C?为（ ） A．?3，则?ABC的面积
33 2B．3
C．33 D．23 【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理可得a2?b2?ab?7，结合2a=b?1可得a，b，再利用面积公式计算即可. 【详解】
22?7?a?b?ab?a?22222由余弦定理，得7?a?b?2abcosC?a?b?ab，由?，解得?，
b?32a?b?1??所以，S?ABC?故选：A. 【点睛】
11333. absinC??2?3??2222本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2．三棱锥S?ABC的各个顶点都在求O的表面上，且?ABC是等边三角形，SA?底面ABC，SA?4，
AB?6，若点D在线段SA上，且AD?2SD，则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为（ ）
A．3? 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到D的距离，利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】
B．4?
C．8?
D．13?
2如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=?33?23, 3设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，则外接球的半径R=取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1, 所以OD=?23?2?22?4
?23?2?12?13.
则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为42?所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为???13?22?3 ??3?3?
故选：A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.
3．已知抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（设点A位于第一象限），过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点A1，B1，抛物线C的准线交x轴于点K，若A．1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
根据抛物线定义，可得|AF|?|AA1|，|BF|?|BB1|， FK∥BB1，所以又AA1∥|A1K|?2，则直线l的斜率为 |B1K|B．2 C．22 D．3
|A1K||AF||AK||AA1|??2，所以1??2， |B1K||BF||B1K||BB1||AA1|?|BB1|2m?m1??，
|AB|2m?m3设|BB1|?m(m?0)，则|AA1|?2m，则cos?AFx?cos?BAA1?所以sin?AFx?22，所以直线l的斜率k?tan?AFx?22．故选C． 3?x?2y?1?0?4．已知实数x、y满足不等式组?2x?y?1?0，则z??3x?y的最大值为（ ）
?y?0?A．3 【答案】A 【解析】 【分析】
B．2
C．?3 2D．?2
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【详解】
?x?2y?1?0?画出不等式组?2x?y?1?0所表示平面区域，如图所示，
?y?0?由目标函数z??3x?y，化为直线y?3x?z，当直线y?3x?z过点A时， 此时直线y?3x?z在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
?x?2y?1?0又由?，解得A(?1,0)，
?y?0所以目标函数的最大值为z??3?(?1)?0?3，故选A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 收益 1 20 2 30 3 20 4 10 5 30 6 30 7 60 8 40 9 30 10 30 11 50 12 30 所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；1?6月总收益140万元，7?12月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240?140?100万元，所以D选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
5?x26．已知双曲线?y2?1的一条渐近线倾斜角为，则a?（ ）
6aA．3 【答案】D 【解析】 【分析】
由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】
由双曲线方程可知：a?0，渐近线方程为：y??B．?3
C．?3 3D．?3
1x， ?aQ一条渐近线的倾斜角为
故选：D. 【点睛】
5?15?3，??，解得：a??3. ?tan??663?a本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽
略方程表示双曲线对于a的范围的要求.
7．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，若a1?1，且公比为2，则Sn与an的关系正确的是（ ） A．Sn?4an?1 C．Sn?2an?1 【答案】C 【解析】 【分析】
在等比数列中，由Sn?【详解】
由题可知，等比数列?an?中a1?1，且公比为2，故Sn?故选：C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
8．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A．
B．Sn?2an?1 D．Sn?4an?3
a1?an?q即可表示之间的关系.
1?qa1?an?q1?2an??2an?1
1?q1?21 2B．
3 5C．
7 10D．
4 5【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】
2从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有C5?10种情况，
22张均没有奖的情况有C3?3（种），故所求概率为1?37?. 1010故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 9．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽
江苏省南通市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
