江苏省南通市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知?ABC中内角A,B,C所对应的边依次为a,b,c,若2a=b?1,c?7,C?为( ) A.?3,则?ABC的面积
33 2B.3
C.33 D.23 【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理可得a2?b2?ab?7,结合2a=b?1可得a,b,再利用面积公式计算即可. 【详解】
22?7?a?b?ab?a?22222由余弦定理,得7?a?b?2abcosC?a?b?ab,由?,解得?,
b?32a?b?1??所以,S?ABC?故选:A. 【点睛】
11333. absinC??2?3??2222本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
2.三棱锥S?ABC的各个顶点都在求O的表面上,且?ABC是等边三角形,SA?底面ABC,SA?4,
AB?6,若点D在线段SA上,且AD?2SD,则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为( )
A.3? 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形,求出三棱锥S-ABC的外接球的半径,再求出外接球球心到D的距离,利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径,则答案可求. 【详解】
B.4?
C.8?
D.13?
2如图,设三角形ABC外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=?33?23, 3设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,则外接球的半径R=取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1, 所以OD=?23?2?22?4
?23?2?12?13.
则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为42?所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为???13?22?3 ??3?3?
故选:A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题,还考查了求截面的最小面积,属于较难题.
3.已知抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(设点A位于第一象限),过点A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为点A1,B1,抛物线C的准线交x轴于点K,若A.1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
根据抛物线定义,可得|AF|?|AA1|,|BF|?|BB1|, FK∥BB1,所以又AA1∥|A1K|?2,则直线l的斜率为 |B1K|B.2 C.22 D.3
|A1K||AF||AK||AA1|??2,所以1??2, |B1K||BF||B1K||BB1||AA1|?|BB1|2m?m1??,
|AB|2m?m3设|BB1|?m(m?0),则|AA1|?2m,则cos?AFx?cos?BAA1?所以sin?AFx?22,所以直线l的斜率k?tan?AFx?22.故选C. 3?x?2y?1?0?4.已知实数x、y满足不等式组?2x?y?1?0,则z??3x?y的最大值为( )
?y?0?A.3 【答案】A 【解析】 【分析】
B.2
C.?3 2D.?2
画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案. 【详解】
?x?2y?1?0?画出不等式组?2x?y?1?0所表示平面区域,如图所示,
?y?0?由目标函数z??3x?y,化为直线y?3x?z,当直线y?3x?z过点A时, 此时直线y?3x?z在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,
?x?2y?1?0又由?,解得A(?1,0),
?y?0所以目标函数的最大值为z??3?(?1)?0?3,故选A.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.
5.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:
根据该折线图可知,下列说法错误的是( )
A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】
用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项. 【详解】
用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示: 月份 收益 1 20 2 30 3 20 4 10 5 30 6 30 7 60 8 40 9 30 10 30 11 50 12 30 所以7月收益最高,A选项说法正确;4月收益最低,B选项说法正确;1?6月总收益140万元,7?12月总收益240万元,所以前6个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后6个月收益比前6个月收益增长240?140?100万元,所以D选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.
5?x26.已知双曲线?y2?1的一条渐近线倾斜角为,则a?( )
6aA.3 【答案】D 【解析】 【分析】
由双曲线方程可得渐近线方程,根据倾斜角可得渐近线斜率,由此构造方程求得结果. 【详解】
由双曲线方程可知:a?0,渐近线方程为:y??B.?3
C.?3 3D.?3
1x, ?aQ一条渐近线的倾斜角为
故选:D. 【点睛】
5?15?3,??,解得:a??3. ?tan??663?a本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题,关键是明确直线倾斜角与斜率的关系;易错点是忽
略方程表示双曲线对于a的范围的要求.
7.已知等比数列?an?的前n项和为Sn,若a1?1,且公比为2,则Sn与an的关系正确的是( ) A.Sn?4an?1 C.Sn?2an?1 【答案】C 【解析】 【分析】
在等比数列中,由Sn?【详解】
由题可知,等比数列?an?中a1?1,且公比为2,故Sn?故选:C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用,属于基础题.
8.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为( ) A.
B.Sn?2an?1 D.Sn?4an?3
a1?an?q即可表示之间的关系.
1?qa1?an?q1?2an??2an?1
1?q1?21 2B.
3 5C.
7 10D.
4 5【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解. 【详解】
2从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有C5?10种情况,
22张均没有奖的情况有C3?3(种),故所求概率为1?37?. 1010故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题. 9.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行,为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验:通过计算机模拟在长为10,宽
江苏省南通市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
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