专题11 平面向量
1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为
π 62πC．
3A．【答案】B
π 35πD．
6B．
a?b|b|21??【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b=0，所以a?b?b，所以cos?=，a?b2|b|2222所以a与b的夹角为
π，故选B． 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,?]．
uuuruuuruuuruuuruuur2．【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC=
A．?3 C．2 【答案】C
B．?2 D．3
uuuruuuruuuruuuruuur22【解析】由BC?AC?AB?(1,t?3)，BC?1?(t?3)?1，得t?3，则BC?(1,0)，uuuruuurABgBC?(2,3)g(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
uuuruuuruuurruuuruuu3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB?AC|?|BC|”
的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
uuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuurruuuruuu【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|?|AC|?2AB?AC?|AB|?|AC|?2AB?AC，即 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuu|AB?AC|2?|AC?AB|2，因为AC?AB?BC，所以|AB+AC|>|BC|；
当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|2>|AB-AC|2?AB?AC>0，又因为点A，B，C不共线，所以
ruuuruuuuuurruuuruuuruuuruuuuuuruuur
rrruuuruuuruuuuuuruuuuuuruuu.“”“|+|>|与的夹角为锐角故与的夹角为锐角是ABACABACABACBC|”的充分必要条件,故选C．
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
uuur4．【2018年高考全国I卷理数】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
r1uuur3uuuA．AB?AC
44r1uuur3uuuC．AB?AC
44【答案】A
r3uuur1uuuB．AB?AC
44r3uuur1uuuD．AB?AC
44uuur1uuur1uuur1uuur1uuuur1uuuruuurv1uuBA?AC 【解析】根据向量的运算法则，可得BE?BA?BD?BA?BC?BA?222424ur1uuur1uuur3uuur1uuuruuur3uuur1uuur1uu?BA?BA?AC?BA?AC，所以EB?AB?AC. 2444444??故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4 C．2 【答案】B
【解析】因为a??2a?b??2a?a?b?2|a|???1??2?1?3所以选B.
22B．3 D．0
【名师点睛】已知非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)：
几何表示 坐标表示
模 |a|=a?a a?b cos??a?ba?x12?y12 cos??x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122夹角 π6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b
3满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A．3?1 C．2 【答案】A 【解析】设
，则由
得
B．3+1 D．2?3 ，
由b2?4e·b+3=0得因此|a?b|的最小值为圆心到直线的距离
23=3减去半径1，为2选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，
uuuruuurAB?BC,AD?CD,?BAD?120,AB?AD?1,若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为
o
21 1625C．
16A．【答案】A
B．
3 2D．3
【解析】连接AD,取AD中点为O,可知△ABD为等腰三角形，而AB?BC,AD?CD，所以△BCD为等边三角形，BD?3.
r设uuuuuur DE?tDC?0?t?1?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur23uuuuuuruuurvuuuvuuuv2AE?BE ?AD?DE?BD?DE?AD?BD?DE?AD?BD?DE??BD?DE?DE
233=3t2?t? ?0?t?1?
22121所以当t?时，上式取最大值，故选A.
416??????【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.
8．【2018年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
a?3b?3a?b?a?3b?3a?b?a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b222，因为a，b均
为单位向量，所以a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b2?a?b=0? a⊥b，即“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 9．【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切
uuuruuuruuur的圆上.若AP??AB??AD，则???的最大值为
A．3 C．5
B．22
D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设A?0,1?,B?0,0?,C?2,0?,D?2,1?,P?x,y?， 易得圆的半径r?242，即圆C的方程是?x?2??y2?，
55uuuruuuruuuruuuruuuruuurAP??x,y?1?,AB??0,?1?,AD??2,0?，若满足AP??AB??AD，
则??x?2?xx ，??,??1?y，所以?????y?1，
22?y?1???xx42?y?1，即?y?1?z?0，点P?x,y?在圆?x?2??y2?上， 225设z?所以圆心(2,0)到直线
2?z2x，解得1?z?3， ?y?1?z?0的距离d?r，即?215?14所以z的最大值是3，即???的最大值是3，故选A．
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
三年(2017-2019)高考真题数学（理）分项汇编专题11 平面向量（解析版）
