中考几何题之辅助线的添加精华讲述 辅助线的添加 【知识要点】
平面几何是中学数学的一个重要组成部分, 证明是平面几何的重要内容。 许多初中生对几何 证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。在这里我们介绍 \添加辅 助线 \在平面几何中的运用。
一 、三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 ⅰ 可向两边作垂线。
ⅱ 可作平行线,构造等腰三角形
ⅲ 在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形 2. 与线段长度相关的
ⅰ 截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它 和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ 补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得 延长的部分等于另外一条较短的线段, 再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即 可
ⅲ
得到全等三角形。 ⅳ
3. 与等腰等边三角形相关的 ⅰ 考虑三线合一 ⅱ 60
二 、四边形
. 在解决一些和四边形有关的 问题时往往需要添加辅助线 . 1
它有许多可以利用性质, 为了利用这些性质往往需 要添加辅助线构造平行四边形 .
ⅰ . 利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ⅱ.利用两组对边平行构造平行四边形 ⅲ.利用对角线互相平分构造平行四边形 2、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线, 借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问题 .
ⅰ . 作菱形的高; ⅱ.连结菱形的对角线 . 3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种:
ⅰ . 计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题; ⅱ.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题 . 和矩形有关的试 题的辅助线的作法较少 .
4、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题
中考几何题之辅助线的添加精华讲述
较多 . 解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线 . 5、与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的 . 主要涉及以下几种类型: (1作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形; (2作梯形的高,构造矩形和直角三角形;
(3作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形; (4 延长两腰构成三角形; (5作两腰的平行线等 . 三 、圆
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径或再连结过弦的端点的半径。 作用:① 利用垂径定理;
② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。 2.遇到有直径时
常常添加(画直径所对的圆周角。
作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 3.遇到 90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用:利用圆周角的性质,可得到直径。 4.遇到弦时
作用:①可得等腰三角形; 5.遇到有切线时 (1
作用:利用切线的性质定理可得 OA ⊥ AB ,得到直角或直角三角形。 (2常常添加连结圆上一点和切点
作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。 6.遇到证明某一直线是圆的切线时
(1 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。 作用:若 OA=r,则 l 为 切线。
(2 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径 作用:只需证 OA ⊥ l ,则 l 为切线。
(3 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 7. 遇到两相交切线时(切线长
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用:据切线长及其它性质,可得到: ① 角、线段的等量关系; ② 垂直关系;
③ 全等、相似三角形。
中考几何题之辅助线的添加精华讲述 8.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 作用:利用内心的性质,可得:
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; ② 内心到三角形三条边的距离相等。 9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点 作用:外心到三角形各顶点的距离相等。
10.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。 作用:①利用切线的性质; ②利用解直角三角形的有关知识。 11.遇到两圆相交时
中考数学几何之辅助线的添加
