[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( ) A．1－i C．－3＋3i
B．1＋i D．3＋3i
解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i. 2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则( ) A．a＝0或a＝2 C．a≠1且a≠2
B．a＝0 D．a≠1或a≠2
解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( ) A．－2＋i C．1－2i
B．2＋i D．1＋2i
解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| C．a>0且a≠b
B．a<0且a＝－b D．a≤0
解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D. 5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
2②若z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的
2
平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z2＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；
在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．
1??x－1＝－3x，x＝，??4
解析：由复数相等可知?所以?
???y＝1，?y＝1.1
答案： 1
4
7．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________. 解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的
2??2m＋7＝m－8，充要条件得?
2－2＝4m＋3，m??
解得m＝5. 答案：5
8．设z＝log2(1＋m)＋ilog1(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．
2
解析：因为z为虚数，所以log1(3－m)≠0，
2
1＋m>0，
??
故?3－m≠1，解得－1
9．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)． (1)若复数z是实数，求实数m的值； (2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z是纯虚数，求实数m的值； (4)若复数z是0，求实数m的值．
解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数， 所以m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数． 所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
2??m－2m－15≠0，(3)当?时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
2＋5m＋6＝0m??
2??m－2m－15＝0，
(4)当?时，复数z是0，所以m＝－3.
2??m＋5m＋6＝0
10．已知关于x，y的方程组
3???x＋?＋2（y＋1）i＝y＋4xi，??2?有实数解，求实数a，b的值． ??（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i
解：设(x0，y0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得
??2（y＋1）＝4x ②，?2x＋ay＝9 ③，??－（4x－y＋b）＝－8
0
0
0
00
0
3
x0＋＝y0 ①，
2
④，
5???x0＝2，?a＝1，
由①②得?代入③④得?
b＝2.????y0＝4，所以实数a，b的值分别为1，2.
[B 能力提升]
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13
a－?＋＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯解析：选B.因为1－a＋a2＝??2?4虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数，故选B.
12．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为________．
2
?2??x＝3，??x＝－1，?x－2x－3＝0，
解析：由题意知?解得?1或?1
2????9y－6y＋1＝0，?y＝3?y＝3.11
3，?，?－1，?，共有2个． 所以实数对(x，y)表示的点有?3??3??答案：2
13．已知复数z＝m2＋3m＋1＋(m2＋5m＋6)i<0(m∈R)，则m的值为________． 解析：因为z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0， 解得m＝－2或m＝－3.
当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去； 当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意． 故m的值为－2. 答案：－2
14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠?，求整数a，b的值．
解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去； 当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意． 所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i， 即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2. 当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意． 所以a＝3，b＝－2.
?a＋3＝a2－1，?
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则?即
2??b－1＝b＋2，
2??a－a－4＝0，
此方程组无整数解． ?
2－b－3＝0，b??
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
[C 拓展探究]
15．已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．
2??－a＋2a＝2xy
解：由复数相等的充要条件，得?，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x
??a＝x－y
－1)2＋(y＋1)2＝2.
法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.
|2－t|
分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤2，
10解得2－25≤t≤2＋25，
即3x＋y的取值范围是[2－25，2＋25]．
??x－1＝2cos α，
法二：令?
?y＋1＝2sin α，???x＝2cos α＋1，
得?(α∈R) ??y＝2sin α－1.
所以3x＋y＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x＋y的取值范围是[2－25，2＋25 ]．
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 应用案巩固提升
