例谈解直角三角形在实际问题中的应用
纵观近几年各地中考数学试题，解直角三角形是中考命题的热点之一，特别是解直角 三角形的应用问题，如测高、测距、航海、堤坝的横截面等，备受命题者的青睐。现以各 地屮考中的部分相关考题，归纳出一般解题思路和方法，供大家参考。
一、关于测塔高的计算
例1某公园内有一湖泊，湖心有一小岛，岛上有一棵大树，树高不知，树也无法靠近。 ⑴请你利用所学知识，用测角仪和皮尺完成树高的测算。 ⑵若测得角设为特殊角（30。, 45° , 60° 中方案，计算树高。
解：①可先在湖边测得树顶的仰角Za , 然后后退a米，测得树顶仰角为ZP,利用解 直角三角形的知识计算树高
②如图所示，设树高为x米， 贝ij CB=AB = x
??? ZD = 30° ???
.\\DB= V3x
V3x-x=10 ???X=5A/3 +5
例2如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一 高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度z = l：V3,斜坡3D的 长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为 45°,在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60° ?
（1） 求小山的高度；
（2） 求铁架的高度.（巧= 1.73,精确到0」米）
解：（1）如图，过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F.
由已知，斜坡的坡比z = l:>/3
?:坡角 ZDBC = 30°
于是在RtADFB屮，DF
即小山的高为25米
（2）设铁架的高AE = x.
在RtAAED^,已知ADE = 60S于是
DE=
^h=4x
在 RtAACB^,已知 ZABC = 45°,
J AC = AE^EC = AE^DF = x^25
又 BC = BF + FC = BF + DE = 2迟 +「x
3 由AC = BC,得兀+ 25 = 25巧+匣兀
3
AX = 25A/3-43.3,即铁架高 43.3 米
即塔高为（5馆+5）米
二.关于测河宽的计算
例3在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示,
生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31。的方向上,
岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据,
该同学计算出这条河的宽度.（参考数值：画31。sin31°心丄）
5 2
解：过点C作CD丄AB,垂足为D,
设CD=x米,
A
&
某学沿河帮助
在 RtABCD 中，ZCBD=45° ,
???BD=CD=x米.
在 RtAACD 屮，ZDAC = 31° ,
AD = AB + BD= (20+x)米，CD = x 米 CD T tan Z DAC = ----- ,
AD
?3 兀 ? 杯 ??一= ----- , ??x = 30. 5 20 + x
答：这条河的宽度为30米.
三、关于轮船的航行问题的计算
例4如图，小岛A在港口 P的南偏西45。方向，距离港口 81海里处.甲船从A 岀发，沿
AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 P出发，沿南偏东60。 方向，以18海里/
时的速度驶离港口.现两船同时出发，
(1) 出发后儿小时两船与港口P的距离相等？
(2) 出发后几小时乙船在甲船的正东方向？(结果精确到0. 1小时)
(参考数据：V2-1.41 ,希= 1.73)
解：(1)设出发后x小时两船与港口 P的距离相等.
根据题意，得81-9x=18x. 解这个方程，得x=3.
???出发后3小时两船与港口 P的距离相等.
(2)设出发后x小时乙船在甲船的正 东方向，此时甲，乙两船的位置分别在点 C、D处，
连接CD.过点P作PE丄CD,垂 足为E,则点E在点P的正南方向.
在 RtACEP 中，ZCPE二45° ,
/.PE=PC ? cos45° .
在 RtAPED 中，ZEPD=60° , ?\\PE=PD ?
cos60° ?
A PC ? cos45° =PD ? cos60° ?
(81-9x) ? cos45° =18x ? cos60° .
解这个方程，得x~3.7.
???出发后约3. 7小时乙船在甲船的正东方向.
由以上题例对知，解决此类问题必须弄清有关概念，如仰角、俯角、方位角、坡度等, 在此基础上根据题目的实际意义通过数学抽象转化为数学三角模型，也就是画出示意图， 然后根据条件求解。涉及到解斜三角形问题吋，必须借助特殊角作辅助线构造直角三角形 来求解。
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