长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 ?ab?一、(10分)F为数域，对于线性空间F2?2中任意矩阵A???cd??，规则?，?分别???ab??a?2?2为?(A)???c0??,?(A)???c??，问?，?是否为F上的变换，如果是，证明该变换为线?????10??01??00??00???????性变换，并求该变换在基E11??，，，E?E?E?122122?00??00??10??01??下????????的矩阵． ?1?1?HU?UAU为对角形矩阵。二、(10分) 已知正规矩阵A??，求酉矩阵，使得?11????011???三、(10分) 用Schmidt正交化方法求矩阵A??110?的QR分解. ?101????2??0 四、(10分) 设矩阵A??0??0?Jordan标准形。 12000?1??01?,求A的行列式因子,不变因子,初等因子组， ?21?02???460???五、(10分) 求可对角化矩阵A???3?50?的谱分解式. ??3?61???六、(10分) 在线性空间Cm?n中，对任意矩阵A?(aij)m?n，定义函数A?mn?maxaij，证明此函数是矩阵范数。 i,j 七、(10分) 已知函数矩阵 ?sinxcosxxA(x)??0e??0?1x?x2??， x3??dA(x)d2A(x)dA(x)其中x?0，试求limA(x)，，，. 2x?0dxdxdx?1649? 八、(10分)已知矩阵A???，写出矩阵函数f(A)的Lagrange-Sylvester?4?12??内插多项式表示，并计算cos?A. . 长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 标准答案及评分标准 科目名称： 矩阵论 命题人： 姜志侠 适用专业： 审核人： 开课学期：2012——2013学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 ?ab?一、(10分)F为数域，对于线性空间F2?2中任意矩阵A???cd??，规则?，?分别为 ???(A)????ab??a?2?2F???，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性,?(A)???????c0??c??10??01??00??00???????变换，并求该变换在基E11??，，，E?E?E?122122?00??00??10??01??下的????????矩阵，判断该变换是否为可逆变换． ?ab??a?2?22?22?22?2FFF???解：因?(A)??，，故为上的变换，不是上?F?(A)?????c0??c?????的变换。 （4分） 又对于线性空间F2?2中任意矩阵B，?k,l?F，?(kA?lB)?k?(A)?l?(B)，故为线性变换。 （6分） ?10??01??00??00???????因?(E11)??，，，?(E)??(E)??(E)?122122?00??00??10??00??，故?在?????????1??0此基下的矩阵为C??0??0?（10分） 010000100??0?． 因C?0，不为可逆矩阵，所以?不是可逆变换0??0???1?1?HU?UAU为对角形矩阵。 二、 已知正规矩阵A??，求酉矩阵，使得?11???解 首先求出矩阵A的特征多项式为?E?A??2?2??2，所以A的特征值为
研究生期末试题矩阵论a及答案
