论文题目 傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
目 录
摘要： ............................................................................................................................................................. 0 关键词 ............................................................................................................................................................. 0 Abstract ......................................................................................................................................................... 0 1绪论 .............................................................................................................................................................. 1 2傅里叶级数的概念 ...................................................................................................................................... 1 2.1周期函数 .................................................................................................................................................. 2 2.2傅里叶级数的定义 .................................................................................................................................. 2 3 傅里叶变换的概念及性质 ....................................................................................................................... 10 3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................ 10 3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 11 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 12 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................ 12 5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................ 12 5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................ 13 参考文献 ....................................................................................................................................................... 15
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的
极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性
Fourier series And Fourier Transforms
Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier
transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a
mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.
Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of
composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.
Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.
Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
1绪论
傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德（O .Heaviside）在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法又演变成今天的积分变化法。所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)乘上一个确定的二元函数k(x,s)，然后计算积分，即
F(s)??f(x)k(x,s)dx
ab这样变成了另一个函数类B中的函数F(s)，这里的二元函数k(x,s)是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，f(x)称为象原函数，F(s)称为f(x)的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。
傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
2傅里叶级数的概念
2.1周期函数
我们把凡是满足以下关系式：
f(x?T)?f(x) （T为常数） （2.1.1）
的函数，都称为周期函数。
周期定义：
（1） 满足式（1.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
基本三角函数系：按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系：
2?2?k?k? x，sinx，…，cosx，sinx，… （2.1.2）
llllllk?k?2l称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如cosx和sinx的周期为，但
kll它们的共有周期为2l（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（1.1.2）的三角函数系的周期为2l。
1，cos?x，sin?x ，cos
2.2傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值。
2.2.1 三角级数、三角函数及其正交性
在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述
yn?Ansin(nx??n)， （1）
我们不难看出，更一般的简谐振动
y?Asin(wx??)，
可通过适当的变换为（1），将无穷多个如（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数
A0?如果（2）式收敛到函数,即
?Asin(nx??nn?1?n) （2）
f(x)?A0??Asin(nx??nn?1?n)
（3）
则易见f(x)是周期为t?Tx的函数，从f(x)的角度看，如果（3）式成立(x?(??,??))，则2?我们便将更一般或更复杂的周期为2?的函数f(x)分解为简单标准的简谐振动的叠加，这对研究
f(x)的各种性质带来了很大的方便。于是，我们自然提出以下问题：什么条件下我们可以将一个
周期为2?的函数f(x)表示成如(1)式那样简单，标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地，什么条件下可以将一个周期为T的函数表示成简谐振动的叠加？设g(t)周期为T，则只
Tx,就有 要令t?2?g(t)?g(Tx)?f(x) 2?则f(x)周期为2?，所以我们只要讨论前一个问题就行了。 为了数学推导和理论研究方便，我们将级数(2)作如下变形
A0??Ansin(nx??n)
n?1?=A0?令 A0?则
A0??Asin?nn?1?ncosnx?Ancos?nsinnx
a0 2,...,A?n?an,Anco?sn?bnn,?1,nsin2?Asin(nx??nn?1?n)
a0???(ancosnx?bnsinnx) =
2n?1称级数
a0???(ancosnx?bnsinnx) (4)
2n?1为三角级数，称级数(4)的部分和
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