中考数学压轴题解题策略（ 4）
平行四边形的存在性问题解题策略
挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准， 分类标准寻找的恰当， 可以使解的个数不重复不遗漏， 也可以 使计算又好又快．
如果已知三个定点， 探寻平行四边形的第四个顶点， 符合条件的有 3 个点： 以已知三个 定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．
例题解析
例 ? 如图 1-1，在平面直角坐标系中， 已知抛物线 x2－2x＋3与 x轴交于 A、B两点（A 在 B的左侧），
图 1-1
【解析】 P、A、 C 三点是确定的，过△ PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直 线两两相交，产生 3 个符合条件的点 D（如图 1-2）．
由 y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，得 A（－3,0），C（0, 3），P（－1, 4）． 由于 A（－3,0） 右3，上3 C（0, 3），所以 P（－1, 4） 右3，上 3 D1（2, 7）． 由于 C（0, 3） 下3，左3 A（－3,0），所以 P（－1, 4） 下3，左 3 D2（－4, 1）． 由于 P（－1, 4） 右1，下1 C（0, 3），所以 A（－3,0） 右1，下1 D3（－2, －1）． 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．
图 1-2
例? 如图 2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2+2x＋3 与 x 轴交于 A、B两
点，点 M 在这条抛物线上，点 P在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B为顶点的四边形是平行 四边形，求点 M 的坐标．
【解析】在 P、M、A、B 四个点中， A、B 是确定的，以 AB 为分类标准． 由 y＝ －x2 +2x＋ 3＝－ （ x＋1）（ x－ 3），得 A（－1，0），B（3，0）． ①如图 2-2 ，当 AB 是平行四边形的对角线时， PM 与 AB 互相平分，因此点 M 与点 P 关于 AB 的中点（ 1,0）对称，所以点 M 的横坐标为 2．此时 M（2， 3）．
②如图 2-3，图 2-4，当 AB 是平行四边形的边时， PM//AB， PM＝ AB＝ 4． 所以点 M 的横坐标为 4或－4．所以 M （4,－5）或（－4,－21）．
我们看到，因为点 P 的横坐标是确定的，在解图 2-2 时，根据对称性先确定了点 M 的 横坐标；在解图 2-3 和图 2-4 时，根据平移先确定了点 M 的横坐标．
图 2-4
例? 如图 3-1，在平面直角坐标系中， 直线 y＝－ x＋4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点
B，点 C 在直线 AB 上，在平面直角坐标系中求一点 D ，使得以 O、A、C、D 为顶点的四边 形
是菱形．
【解析】由 y＝－x＋4，得 A（4, 0），直线 AB 与坐标轴的夹角为 45°． 在 O、A、C、D 四个点中， O、 A是确定的，以线段 OA 为分类标准．
如图 3-2 ，如果 OA 是菱形的对角线，那么点 C 在 OA 的垂直平分线上，点 C（2,2）关于
OA 的对称点 D 的坐标为 （2,－ 2）．
如果 OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：
如图 3-3 ，以 O 为圆心， OA 为半径的圆与直线 AB 的交点恰好为点 B（0, 4），那么正方 形 AOCD 的顶点 D 的坐标为 （4, 4） ．
如图 3-4，以 A 为圆心， AO 为半径的圆与直线 AB 有两个交点 C（4 2 2,2 2） 和 C′ (4 2 2, 2 2) ，点 C和 C′向左平移 4个单位得到点 D( 2 2,2 2) 和 D′(2 2, 2 2) ．
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x 轴的负半轴
N 在抛物线的对称轴上，点 交于点 C，点 E 的坐标为 （0,－ 3），点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M、 N，使得以 M、N、C、E
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由．
图 4-1
【解析】 C（－ 4,0）、E（0,－ 3）两点是确定的，点 以 CE 为分类标准，分两种情况讨论
N 的横坐标－ 2 也是确定
的．
C、E 两点间的水平距离为 4，所以 M 、
平行四边形： ①如图 4-2 ，当 CE 为平行四边
N 两点间的水平距离也为 4，因此点 M 的横坐标为－ 6 或 2．
将 x＝－6 和 x＝ 2分别代入抛物线的解析式，得
M(－6,16)或(2, 16)．
②如图 4-3 ，当 CE 为平行四边形的对角线时， M 为抛物线的顶点，所以 M （ 2,
例 ? 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线
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B
）
． 3
两点（点 A 在点 B 的左侧），点 D 是第四象限内抛物线上的一点，直线 AD 与 y 轴负半轴交 于点 C，且 CD＝4AC．设 P 是抛物线的对称轴上的一点， 点 Q在抛物线上， 以点 A、D、
P、 Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
4-平行四边形的存在性问题解题策略
