增分强化练(十一)
考点一 三角恒等变换及其应用
1．(2019·宁德质检)cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝( ) A．－3
2
B.3 2
1C．－ 21D. 2
解析：cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝cos 31°cos 1°＋sin 31°sin 1°＝cos(31°－1°)＝cos 30°＝答案：B
2．(2019·蚌埠模拟)函数f(x)＝2sin xcos x＋2cosx－1的图象的对称轴可能 为( ) πA．x＝ 8πC．x＝ 2
πB．x＝ 4π
D．x＝－
4
2
3
，故选B. 2
π?π?2
解析：f(x)＝2sin xcos x＋2cosx－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?，令2x＋＝kπ
4?4?πkπππ
＋(k∈Z)，解得x＝＋，(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故选A. 2288答案：A
3．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝________.
解析：因为(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°， tan 25°＋tan 20°又tan 45°＝＝1，所以tan 25°＋tan 20°＝1－tan 20°tan 25°，
1－tan 20°tan 25°所以(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°＝2. 答案：2
4．(2019·北京西城区模拟)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期T＝________；如果对于任意的x∈R都有f(x)≤a，那么实数a的取值范围是________．
π??解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?，最小正周期T＝π，依题意，知a≥f(x)恒4??成立，所以，a≥f(x)max＝2，即a≥2. 答案：π [2，＋∞) 考点二 正弦定理与余弦定理
1．(2019·湛江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝(4c
－b)cos A，则cos 2A＝( ) 7A．－ 87C. 8
解析：∵acos B＝(4c－b)cos A.
∴sin Acos B＝4sin Ccos A－sin Bcos A， 即sin Acos B＋sin Bcos A＝4cos Asin C， ∴sin C＝4cos Asin C， ∵0＜C＜π，sin C≠0. 1
∴1＝4cos A，即cos A＝，
472
则cos 2A＝2cosA－1＝－. 8故选A. 答案：A
2．(2019·蚌埠模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinA＋c(sin C12
－sin A)＝2sinB，且△ABC的面积S＝abc，则角B＝________.
4111
解析：S＝abc?abc＝absin C?c＝2sin C，
442
代入2sinA＋c(sin C－sin A)＝2sinB中，得sinA＋sinC－sin Asin C＝sinB， 由正弦定理
＝＝，可将上式化简为a＋c－ac＝b，由余弦定理可知b＝asin Asin Bsin C2
2
2
2
22
1B．－
81D. 8
abc22222
1π2
＋c－2ac·cos B，所以有cos B＝，又因为B∈(0，π)，所以角B＝.
23π
答案： 3
3．(2019·晋城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin(B＋C)－3cos
2
A＝0.
(1)求角A的大小；
π
(2)若B＝，a＝23，求边长c.
4
解析：(1)因为A＋B＋C＝π，2sin(B＋C)－3cos A＝0， 所以2sinA－3cos A＝0,2(1－cosA)－3cos A＝0， 所以2cosA＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.
22
22
1
因为cos A∈(－1,1)，所以cos A＝，
2因为A∈(0，π)，所以A＝
π. 3
(2)sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B ＝
32126＋2×＋×＝. 22224
＝，
sin Csin A在△ABC中，由正弦定理得所以
ca23＝，解得c＝6＋2. 6＋2342
c考点三 解三角形与三角函数的交汇问题
1．(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．
解析：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
80sin 150°40
∴∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝＝＝40(6＋2)，
sin 15°6－2
4△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， ∴∠DBC＝30°，
由正弦定理，＝，
sin∠CBDsin∠BDC所以BC＝
CDBCCD·sin∠BDC80×sin 15°
＝＝160sin 15°＝40(6－2)；
sin∠CBD1
2
2
2
2
△ABC中，由余弦定理AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)1
＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×
2＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20， 解得AB＝805，
则两目标A，B间的距离为805. 答案：805
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sin C成等差数列，1
且cos C＝. 3(1)求的值；
(2)若c＝11，求△ABC的面积．
解析：(1)因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C， 由正弦定理得2b＝a＋c，即c＝2b－a. 1
又因为cos C＝，根据余弦定理有：
3
baa2＋b2－c2a2＋b2－?2b－a?23b1
cos C＝＝＝2－＝，
2ab2ab2a3
所以＝
b10. a9
1122
(2)因为c＝11，cos C＝，根据余弦定理有a＋b－2ab·＝121，
331010021012
由(1)知b＝a，所以a＋a－2a·a·＝121，
98193解得a＝81.
122
由cos C＝得sin C＝，
33
152522
所以△ABC的面积S＝absin C＝asin C＝×81×＝302.
2993
2
2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题1 三角函数与解三角形 增分强化练(十一)理
