应用平面向量基本定理解习题习题型归纳

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平面向量基本定理常用题型归纳

何树衡 刘建一

平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数?1,?2使得a=?1e1??2e2

平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型： 一、基本题型随处可见 1.1直接利用?1,?2唯一性求解 例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，OA?(2,?4),OB?(?2,?2)，若xOA?yOB?3AB，求实数x,y的值 ?4x?2y) 解：xOA?yOB?x(2,?4)?y(?2,?2)?(2x?2y，?2x?2y??12 ??4x?2y?6??x??3∴? y?3?即x为－3，y为3. 1.2构建三角形，利用正余弦定理求解 OA与OC的夹角为30o，例2：如图，平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA与OB夹角为120o，OA?OB?1,OC?23，若OC??OA??OB(?,??R),则?= ，?= . 解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中， OCsin60??ODsin90??CDsin30?二、共线问题常考常新 B 2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。 常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，30o 存在实数t，使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为OPD ?(1?t)OA?tOB O A A 反之，若OP?(1?t)OA?tOB则A，P，B三点共线 P 111（特别地令t=,OP?OA?OB称为向量中点公式） 222B 12D AP?mAB?AC，则实数m的值为 例3：在△ABC中，AN?NC，P是BN上的一点，若11311A 解：∵AN?NC，∴AN?AC

43N B P C ∴DC?2,OD?4,即?=4，?=2 C 欢迎阅读

∵B,P,N三点共线，∴ AP?mAB?(1?m)AN

83AN，∴m=

11112.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力

11例4：在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E，求证：BE=BA

341证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只需证E，E′重合即可

411设OA?a，OB?b，BD?a，OD?b?a

33111313OE'=OB?BE'?b?BA?b?(a?b)?(a?3b)?(b?a)?OD 444434∴O,E′,D三点共线 O B 1∴E,E′重合，∴BE=BA 4E D 三、区域问题渐成热点 A 由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依C 据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题. 又∵AP?mAB?定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足OC?xOA?yOB(x,y?R)，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2) Ⅳ 表(1) B 充要条件 Ⅳ x,y满足条件Ⅱ 动点C所在区域(不含边界) Ⅰ Ⅰ x>0，y>0且x+y<1 A Ⅱ x>0，y>0且x+y>1 Ⅶ x>0O ，y<0且ⅥⅢ Ⅲ x+y>1 x>0，y>0且x+y>1或Ⅳ x<0,y>1 Ⅴ X<0,01 x+y=1 x>0,y>0 x<0,y>0 x>0,y<0 0≤x≤1 欢迎阅读 C在线段AO的延长线上 C在线段OB上 C在线段OB的延长线上 C在线段BO的延长线上上 x=0 x<0 0≤y≤1 y>1 y<0 在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现. 3.1动点所在位置定，判断系数满足条件

例5：如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若OP?aOP1?bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a,b满足（ ） P2 A．a>0,b>0 B．a>0,b<0 Ⅱ Ⅰ C．a<0,b>0 P1 Ⅲ O Ⅳ D．a<0,b<0 答案：B 例6：如图OM∥AB，点P在射线OM，射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边1界）运动，且OP?xOA?yOB，则x的取值范围是 ，当x=－时，y的取值范围是 . 213答案：x<0 ?y? T 22P O 1解：①设OS∥AB，过S作OB平行线交AB延长线于T，则OPB 的终点P只能在线段ST上M B 2M S （不包括端点） A A 11111②由区域VO 性质得x<0,0

22222AB的延长线上时，由表(2)得C在线段AB延长线上时x<0,y>0且x+y=1 11313∴OP=－OA+yOB, －+y=1 ∴y= 即

y {POP??OA??OB,????1}(?,??R)所表示的区域面积是（ ）A．22 答案：D 解：令OA与x轴的非负半轴重合，OB在第一象限内 ∵OA=OB=OAOBcos∠AOB=2 ∵在第一象限，?>0,?>0 P点形成图形的面积为S△AOB= B．23 C．42 A′ B′ B D．43 O A x ?∴∠AOB= 3∴OP??OA??OB ∴?+?≤1

11?OAOBsin∠AOB=×2×2×sin=3,同理S△A′OB=3

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∴SA′B′AB=43 巩固练习及参考答案

1.已知a?(1,2),b?(3,4),c?(15,22)，若c??a??b，求?，?

2.已知△ABC和点M满足MA?MB?MC?0，若存在实数m使得AB?AC?mAM成立，则m=( )

A．2 B．3 C．4 3.如右图，在△ABC中，点M是BC边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交的值.

4.已知平行四边形ABCD，点P为四界上任意一点，向量AP?xAB?yAD，则≤

2的概率是（ ） 312A． B． 33 D．5

A 的中点，点N在

于点P，求AP:PM边形内部或者边1O≤x≤, O≤y

2C P B M N 1Ｃ． 4 D．1 2参考答案：1.?=3，?=4 2. B 3. 3：1 4. A 参考文献： [1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9). [2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10). [3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).