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平面向量基本定理常用题型归纳
何树衡 刘建一
平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且仅有一对实数?1,?2使得a=?1e1??2e2
平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础,它为“数”和“形”搭起了桥梁,在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究,认为大致分为以下题型: 一、基本题型随处可见 1.1直接利用?1,?2唯一性求解 例1:在直角坐标平面上,已知O是原点,OA?(2,?4),OB?(?2,?2),若xOA?yOB?3AB,求实数x,y的值 ?4x?2y) 解:xOA?yOB?x(2,?4)?y(?2,?2)?(2x?2y,?2x?2y??12 ??4x?2y?6??x??3∴? y?3?即x为-3,y为3. 1.2构建三角形,利用正余弦定理求解 OA与OC的夹角为30o,例2:如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB夹角为120o,OA?OB?1,OC?23,若OC??OA??OB(?,??R),则?= ,?= . 解:过C作CD∥OB交OA的延长线于D,在Rt△ODC中, OCsin60??ODsin90??CDsin30?二、共线问题常考常新 B 2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。 常用结论:点O是直线l外一点,点A,B是直线l上任意两点,求证:直线上任意一点P,30o 存在实数t,使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为OPD ?(1?t)OA?tOB O A A 反之,若OP?(1?t)OA?tOB则A,P,B三点共线 P 111(特别地令t=,OP?OA?OB称为向量中点公式) 222B 12D AP?mAB?AC,则实数m的值为 例3:在△ABC中,AN?NC,P是BN上的一点,若11311A 解:∵AN?NC,∴AN?AC
43N B P C ∴DC?2,OD?4,即?=4,?=2 C 欢迎阅读
∵B,P,N三点共线,∴ AP?mAB?(1?m)AN
83AN,∴m=
11112.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力
11例4:在平行四边形OACB中,BD=BC,OD与BA相交于E,求证:BE=BA
341证明:如图,设E′是线段BA上的一点,且BE′=BA,只需证E,E′重合即可
411设OA?a,OB?b,BD?a,OD?b?a
33111313OE'=OB?BE'?b?BA?b?(a?b)?(a?3b)?(b?a)?OD 444434∴O,E′,D三点共线 O B 1∴E,E′重合,∴BE=BA 4E D 三、区域问题渐成热点 A 由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题,为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依C 据和操作上的便利,也可以解决向量中类似于点所在位置问题. 又∵AP?mAB?定理:设O,A,B为平面内不共线的三个定点,动点C满足OC?xOA?yOB(x,y?R),记直线OA,OB,AB分别为lOA,lOB,lAB,平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ),得出结论表(1),表(2) Ⅳ 表(1) B 充要条件 Ⅳ x,y满足条件Ⅱ 动点C所在区域(不含边界) Ⅰ Ⅰ x>0,y>0且x+y<1 A Ⅱ x>0,y>0且x+y>1 Ⅶ x>0O ,y<0且ⅥⅢ Ⅲ x+y>1 x>0,y>0且x+y>1或Ⅳ x<0,y>1 Ⅴ X<0,0
例5:如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界),若OP?aOP1?bOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a,b满足( ) P2 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 Ⅱ Ⅰ C.a<0,b>0 P1 Ⅲ O Ⅳ D.a<0,b<0 答案:B 例6:如图OM∥AB,点P在射线OM,射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内(不含边1界)运动,且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是 ,当x=-时,y的取值范围是 . 213答案:x<0 ?y? T 22P O 1解:①设OS∥AB,过S作OB平行线交AB延长线于T,则OPB 的终点P只能在线段ST上M B 2M S (不包括端点) A A 11111②由区域VO 性质得x<0,0 22222AB的延长线上时,由表(2)得C在线段AB延长线上时x<0,y>0且x+y=1 11313∴OP=-OA+yOB, -+y=1 ∴y= 即 y {POP??OA??OB,????1}(?,??R)所表示的区域面积是( )A.22 答案:D 解:令OA与x轴的非负半轴重合,OB在第一象限内 ∵OA=OB=OAOBcos∠AOB=2 ∵在第一象限,?>0,?>0 P点形成图形的面积为S△AOB= B.23 C.42 A′ B′ B D.43 O A x ?∴∠AOB= 3∴OP??OA??OB ∴?+?≤1 11?OAOBsin∠AOB=×2×2×sin=3,同理S△A′OB=3 223欢迎阅读 ∴SA′B′AB=43 巩固练习及参考答案 1.已知a?(1,2),b?(3,4),c?(15,22),若c??a??b,求?,? 2.已知△ABC和点M满足MA?MB?MC?0,若存在实数m使得AB?AC?mAM成立,则m=( ) A.2 B.3 C.4 3.如右图,在△ABC中,点M是BC边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交的值. 4.已知平行四边形ABCD,点P为四界上任意一点,向量AP?xAB?yAD,则≤ 2的概率是( ) 312A. B. 33 D.5 A 的中点,点N在 于点P,求AP:PM边形内部或者边1O≤x≤, O≤y 2C P B M N 1C. 4 D.1 2参考答案:1.?=3,?=4 2. B 3. 3:1 4. A 参考文献: [1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究,2014,(9). [2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究,2014,(10). [3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯,2007,(7).
应用平面向量基本定理解习题习题型归纳



