第8讲 选修4系列
第1课时 坐标系与参数方程
[考情分析] 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化．
热点题型分析
热点1 极坐标方程
1．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r时，ρ＝r； (2)当圆心为M(a,0)，半径为a时，ρ＝2acosθ；
π??
(3)当圆心为M?a，2?，半径为a时，ρ＝2asinθ.
??2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
π??
(3)直线过点M?b，2?，且平行于极轴：ρsinθ＝b.
??
(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
π
(1)当θ0＝3时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在曲线C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
ππ
当θ0＝3时，ρ0＝4sin3＝23.
π
由已知，得|OP|＝|OA|cos3＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
?π?
在Rt△OPQ中，ρcos?θ－3?＝|OP|＝2.
??π???π?经检验，点P?2，3?在曲线ρcos?θ－3?＝2上，
????
?π?所以l的极坐标方程为ρcos?θ－3?＝2.
??(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ. 因为P在线段OM上，且AP⊥OM， ?ππ?所以θ的取值范围是?4，2?.
??
?ππ?
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈?4，2?.
??
1．直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ和y＝ρsinθ直接带入并化简即可．
2．极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验．
?π?
(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin?6－θ?＝2，曲线C的方
??程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为
π?π?
ρsin?6－θ?＝2，则直线l过A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为6，所以A为直线l与
??
π
圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝6.连接OB，因为OA为直径，
ππ
从而∠OBA＝2，所以AB＝4cos6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.
热点2 参数方程
1．直线的参数方程
?x＝x0＋tcosα，
经过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参
y＝y＋tsinα?0数)．t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|(t可正、可负、可零)．若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；线t1＋t2
段M1M2的中点M所对应的参数为2.
2．圆的参数方程
?x＝a＋rcosθ，
圆(x－a)＋(y－b)＝r的参数方程为?
y＝b＋rsinθ?
2
2
2
(θ为参数)． 3．椭圆的参数方程
?x＝acosθ，x2y2
椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程为?(θ为参数)；
y＝bsinθ??x＝bcosθ，y2x2
椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝asinθ
?x＝cosθ，
(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ
?y＝sinθ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
π
当α＝2时，l与⊙O交于两点．
π
当α≠2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当?2??ππ??π3π???<1，解得k<－1或k>1，即α∈?4，2?或α∈?2，4?.
?????1＋k2?
?π3π?综上，α的取值范围是?4，4?.
??
?x＝tcosα，π3π??
?t为参数，4<α<4?. (2)l的参数方程为?
??y＝－2＋tsinα?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP， tA＋tB
则tP＝2，
且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.
高考文科数学专题复习方案坐标系与参数方程
