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解：设AD?x(km)，货物从C点运到B点需要的总运费为y，则 y?5k?CD?3k?DB(k是某个正数)
即y?5k400?x2?3k(100?x)(0?x?100)．
y??k(由于y5x?3).解方程y??0得x?15(km)．
2400?xx?0?400k, yx?15?380k,y|x?100?500k1?1， 其中以y25x?15?380k为最小，
因此当AD?x?15(km)时总运费最省．
综合练习四 不定积分（答案） 一、填空题
1．若在区间I上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个 原函数 ；f(x)的两个 原函数F(x)与?(x)之间有什么关系：F(x)??(x)?C； f(x)的带有任意常数的原函数叫 做f(x)在该区间上的不定积分，记为
?f(x)dx?F(x)?C．
2．设函数x5是f(x)的一个原函数，则f(x)?5x4，f?(x)?20x3，?f(x)dx?x5?C． 3．若?f(x)dx?x2e?x?C4．设f(x)?，
则f(x)?2xe?x?x2e?x．
sinx，则(?f(x)dx)??xsinxx．
5．一曲线在任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且该曲线通过点(e2,3)， 则该曲线的方程为 y?lnx?1． 6．dx?1ad(ax)?1ad(ax?b)(a?0)，xdx?d(1?x2)，x2dx?13d(1?x3)．
7．
1dx?x?15d(3?5lnx)，
111?，dx?d()dx?2d(x)． 2xxx可编辑
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?x8．edx??d(e?x)，sin3xdx??13d(cos3x)，cos2xdx?12d(sin2x)．
9．设f(x)为连续函数，则
?f2(x)df(x)?13f(x)?C． 31． (ax?b)2?C（其中a?0）
a10．若
?f(u)du?u2?C，则?f(ax?b)dx?*11．已知*12．
?f(x)dx?F(x)?C，则?f(lnx)dx?F(lnx)?C． xg?(x)12?g(x)?g(x)dx?，lng(x)?Cdx?g(x)?C． ??g(x)2?x13．已知e是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx??xe?x?e?x?C．
?
二、单项选择题（每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） 1．C为任意常数，且F'(x)?f(x),下列等式成立的是【 B 】． （A）?F'(x)dx?f(x)?C （B）
?f(x)dx?F(x)?C
（C）?F(x)dx?F?(x)?C （D）?f?(x)dx?F(x)?C 2．函数f(x)的一个原函数是1?2x，则f(x)?【 C 】． （A） 3．若
111 （B） （C） （D） 21?2x 1?2x21?2x1?2xf(x)dx?x2ex?C，则f?(x)?【 C 】．
?（A） 2xex （B） (x2?2x)ex （C）(x2?4x?2)ex （D） x2ex 4．过(1,2)点，且切线斜率为2x的曲线方程为【 B 】．
（A）y?x2?2 （B）y?x2?1 （C）y?x?2 （D）y?2 5．若（A） 6．(?f(x)e1xdx?e?C，则f(x)?【 D 】．
1x
1111 （B） 2 （C） ? （D） ?2 xxxx1?1)dcosx?【 D 】． 2cosx可编辑
?
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（A） tanx?x?C （B）tanx?cotx?C （C）?7．下列积分正确的是【 D 】．
11?x?C （D）??cosx?C cosxcosx
（A）cos2xdx?sin2x?C （B）edx?e??2x2x?C
（C）dsinx?x?C （D）dsinx?sinx?C
??8．
?f?(lnx)dx?【 B 】． x（A）f?(lnx)?C （B）f(lnx)?C （C）f?(x)?C （D）f(x)?C 9．lnxdx=【 A 】．
?（A）x(lnx?1)?C （B）xlnx?C （C）lnx?x?C （D）lnx?x?C *10．xf??(x)dx?【 C 】．
?
（A）xf??(x)?xf?(x)?f(x)?C （B）xf(x)??f(x)dx
（C） xf?(x)?f(x)?C （D）xf?(x)?f(x)?C 三、求下列不定积分： 1．(?11?)dx 1?x(1?x)2 解：原式?11111??ln|1?x|??C． dx?dx??d(1?x)?d(1?x)?1?x?(1?x)2?1?x?(1?x)21?x131122222 2．?xx?1dx 解：原式??(x?1)d(x?1)?(x?1)?C．
232 3．
1?lnx12dx 解：原式?(1?lnx)d(1?lnx)?(1?lnx)?C． ?x?21ex1xxdx?dx?d(e?1)?ln(e?1)?C． * 4．? 解：原式xx?x?e?1?e?11?e
dx?9?4x2
1111111dx??dx)???d(3?2x)??d(3?2x) 解：原式?(?63?2x3?2x123?2x123?2x* 5．
??1113?2xln|3?2x|?ln3?2x?C?ln?C． 1212123?2x可编辑
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* 6．sinxcosxdx
?3 解：原式??cosxd(cosx)???31cos4x?C． 47．
?1?1xdx
解：令x?t，则x?t2，dx?2tdt；
1t1?2tdt?2dt?2(1??1?t?1?t?1?t)dt
原式? ?2(t?ln1?t)?C?2x?2ln(1?x)?C． 8．xedx （分部积分公式u?v?dx?u?v?u??vdx）
??x???x?x?x?x?x?x解：令u?x,v??e，则u??1,v??e． 原式??xe?edx??xe?e?C．
?9．xcos2xdx （分部积分公式u?v?dx?u?v?u??vdx）
???1sin2x． 21111 原式?xsin2x??sin2xdx?xsin2x?cos2x?C．
2224解：令u?x,v??cos2x，则u??1,v?10．xlnxdx （分部积分公式u?v?dx?u?v?u??vdx）
?3??x4x41x4x41x4lnx???dx?lnx??C． 解：令u?lnx,v??x，则u??,v?． 原式?44x416x43*11．已知f(ex)?x，求
xx?f(x)dx．
解：Qf(e)?x令e?u,x?lnu?f(u)?lnu即f(x)?lnx．
四、解答题
?11（令u?lnx,v??1，则u??,v?x．） f(x)dx?xlnx??x?dx?xlnx?x?C．
xxlnx为f?x?的一个原函数，求不定积分?xf?x?dx． xlnxlnxlnx?C，令F(x)?解：因为 为f?x?的一个原函数，所以 ?f(x)dx?，则F?(x)?f(x)
xxx*1．若函数
令u?x,v??f(x)?F?(x)，则u??1,v?F(x)．
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lnxln2xdx?lnx? 于是 ?xf(x)dx?xF(x)??F(x)dx?lnx???C． x2综合练习五 定积分及其应用（答案）
一、填空题
adxdbf(t)dt=f(x)， f(x)dx?0，?f(x)dx?0， 1．
adx?adx?a?badx?b?a．
2．若函数f(x)在[a,b]上连续，则3．利用定积分的几何意义填空：?
?baf(x)dx??f(t)dt?0．
ba?
???sinxdx=0，
??2??2cosxdx=230??20cosxdx，
9?4?a?aa2?x2dx??2a2，
?9?x2dx?．
2??xx?04．设f(x)??，由定积分的几何意义，?f(x)dx??1?2xx?092．
5．比较下列积分的大小：
?10xdx??10x8dx，?exdx?01?10exdx．
2?dxd2222sintdt?6．=；． sinxdx0sinx??00dxdx2?x20?x?17．已知f(x)=? ，则?f(x)dx?0?2?x1?x?256．
8．
????32xsinxxsinxdx=0 ，?4dx= 0．
?5x?2x2?1459．设f(x)在区间??a,a?上连续，则10．
??2a?ax2?f(x)?f(?x)?dx?0．
3?8．
?2?2(x?4?x)dx=16，?22?3?cosx(x?cosx)dx=211．由曲线y?f(x)?0，x?a,x?b（a?b）及x轴所围成图形的面积A??baf(x)dx．
二、单项选择题（每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） 1．设有下列4个条件：（1）函数f(x)在[a,b]上连续；（2）函数f(x)在[a,b]上有界；（3）函数f(x) 在[a,b]上可导；（4）函数f(x)在[a,b]上可积，则这四个条件之间的正确关系是【 B 】．
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成考数学专升本分章练习及答案
