备战2020高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【新课标版】 专题2 数 列
1．（2020·荆门市龙泉中学高三月考）数列?an?满足anan?1an?2?an?an?1?an?2anan?1?1,n?N?*?，且
a1?1，a2?2．若an?Asin??n????c???0,0?????，则实数A? ．
【答案】23 3【解析】数列?an?满足anan?1an?2?an?an?1?an?2anan?1?1,n?N?*?，且a1?1，a2?2．
令n?1，得：2a3?1?2?a3，解得a3?3；令n?2，得：6a4?2?3?a4，解得a4?1；令n?3，得：
3a5?1?3?a5，解得a5?2；…；可得an?3?an，a1?1，a2?2，a3?3．
∵an?Asin??n????c???0,0?????，∴∴an?Asin?2???3，解得??2?． 3?2??n????c?0?????， ?3??2???2???2??1?Asin???c2?Asin?2???c3?Asin?3????c． ∴，??，????3??3??3??2?????1?Asin???c2??Asin化为：??，?????c，3?Asin??c．
?3??3?∴Asin??Asin?????2??????1，Asin??Asin?????2， ?3??3?即
3A3sin??Acos??1① 223A3sin??Acos??2② 22①+②得：3Asin??3，即Asin??1， ①﹣②得：3Acos???1，即Acos???3，联立解得：tan???3，0????， 3∴??2?2323，∴A?，故答案为：． 333【押题点】数列递推关系；数列与三角函数的周期性
2．（2020·安徽六安一中高三月考）已知数列?an?的前n项和为Sn，若a1?1且Sn?n?1?an?1(n?N*)，数
列??n?173T?≥m?nTn的前项和为，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______________． n?1?n2a?19?an?1?【答案】(??,2]
【解析】当n?1时，由S1?2?a2及a1?1可得a2?3，由Sn?n?1?an?1① 可得n?2时，Sn?1?n?an②，
由①－②可得an?1?an?1?an，即an?1?2an?1，∴an?1?1?2(an?1)，其中n?2， 当n?1时，a2?1?4?2(a1?1)，故
nan?1?1?2对任意的n?1总成立，即{an?1}是首项为2，公比为2an?1nn的等比数列，故an?1?2，则a?1?2n，
n123n则Tn=+2+3+L+n③，
22221123nTn?2?3?4?L?n?1④ 2222211(1?n)11111n2?n?1?n?2由③?④可得2Tn?2?22?23?L?2n?2n?1?21，∴Tn2n?12n?11?2?2?n?2， 2n由Tn?17313?2n3≥m?2?n?1≥m?9， ，得n?12a9?1222n?1513?2n13，则An?1?An?n?2，易得{An}在n?7时递减，在n?8时递增，且A7?2?8,A8?2?9， n?122223332?9≥m?9，解得m?2．故答案为：(??,2]． 9，故222设An?2?故{An}的最小值为A8?2?【押题点】数列的通项公式与前n项和的关系；错位相减法；数列不等式恒成立问题
*x23．（2020·四川树德中学二诊）已知函数f(x)?e(x?1)，令f1(x)?f?(x)，fn?1(x)?fn?(x)n?N，
??若fn(x)?ex?axn2?2an??bnx?cn?，记数列??m?表示不超过实数m的最大整数，?的前n项和为Sn，
2c?b?nn?则?3S2000?? ． 【答案】4
*x2【解析】由题意，函数f(x)?e(x?1)，且f1(x)?f?(x)，fn?1(x)?fn?(x)n?N，
??x2x2可得f1(x)?f?(x)?e(x?4x?3)，f2(x)?f1?(x)?e(x?6x?7)
f3(x)?f2?(x)?ex(x2?8x?13)，f4(x)?f3?(x)?ex(x2?10x?21),LL
又由fn(x)?ex?axn2?bnx?cn?，可得?an?为常数列，且an?1，
数列?bn?表示首项为4，公差为2的等差数列，∴bn?2n?2， 其中数列?cn?满足c2?c1?4,c3?c2?6,c4?c3?8,L,cn?cn?1?2n， ∴cn?c1?(c2?c1)?(c3?c2)?L?(cn?cn?1)?4?(n?1)(4?2n)?n2?n?1，
22an2?11??∴，
2cn?bn2(n2?n?1)?(2n?2)n2又由
11111111???,???,(n?2)， 22nn(n?1)nn?1nn(n?1)n?1n可得数列{1111111}的前n项和为1????L???1?，
n(n?1)223nn?1n?1数列{111111131}的前n项和为1?????L????，
(n?1)?n2334nn?12n?1?2an?131?Sn??∴数列?， ?的前n项和为Sn，满足1?n?12n?1?2cn?bn?∴3(1?131393)?3S2000?3(?)，即3??3S2000??，又由?m?表示不超过实数m的200122001200122001最大整数，∴?3S2000??4，故答案为：4．
【押题点】导数的计算；等差数列的通项公式；累加法求解数列的通项公式；裂项法求数列的和
4．（2020·山西长治3月网考）定义R在上的函数f?x?为奇函数，并且其图象关于x＝1对称；当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．若数列{an}满足an＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n≤50时，当Sn＝a1+a2+…+an取的最大值时，n＝ ． 【答案】26
【解析】∵函数f?x?为奇函数，∴f??x???f?x?，又∵其图象关于直线x＝1对称， ∴f?1?x??f?1?x?，即f??x??f?2?x?，
备战2020高考数学黄金30题系列之压轴题—专题02 数列(解析版)
