19.2.3 一次函数与方程、不等式
第2课时
【教学目标】 知识与技能:
理解一次函数与二元一次方程(组)、 一元一次不等式之间的联系.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义,会求二元一次方程的解. 过程与方法:
经历用函数图象表示方程、不等式解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想. 情感态度与价值观:
培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值. 【重点难点】
重点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解. 难点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解. 【教学过程】
一、创设情境,导入新课
如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)不解关于x,y的方程组(2)求不等式x+1>mx+n的解集.
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.
你能解答上面的三个问题吗?这一节我们就来研究这一问题. 二、探究归纳
活动1:一次函数与一元一次不等式的关系 1.探究:我们来看下面两个问题有什么关系? (1)解不等式5x+6>3x+10.
- 1 -
请你直接写出它的解.
(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?
在问题(1)中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式得x>2.
解问题(2)就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.
那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来求解一元一次不等式?
[师]我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出:当x>2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时
y=2x-4>0.
由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为x>2.
由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.
2.归纳:任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围. 活动2:一次函数与二元一次方程组的关系
1.问题:我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.
比如可化为
根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等.它反映在图象上,就是求直线y=x+5和y=0.5x+15的交点坐标.因此,我们也可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
- 2 -
2.归纳:(1)一般地,每一个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
(2)含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的方程组的解,是对应的两个一次函数图象交点的坐标. 活动3:例题讲解
【例1】 用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4
分析:将不等式转化为kx+b>0的形式,画相应函数y=kx+b的图象,得到相应自变量的取值范围. 解:原不等式可化为-x-3>0, 画出函数y=-x-3的图象,
从图象可以看出,当x<-3时这条直线上的点在x轴上方,即这时-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3.
总结:用图象法解不等式的步骤
(1)把不等式化成ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式. (2)画出一次函数y=ax+b的图象.
(3)找出图象与x轴交点的横坐标,不等式的解集就相应得出.
【例2】 如图,若直线l1与l2相交于点P,则根据图象可得,二元一次方程组
的解是
______.
分析:方程组
的解,就是直线l1与直线l2的交点P的坐标.
解:∵一次函数y=2x-3的图象l1与y=-x+3的图象l2相交于点P, 点P的坐标是(2,1),∴方程组
的解是
- 3 -
答案:
总结:用图象法确定二元一次方程组的解
1.将两个方程都化为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式. 2.画出两个函数的图象,确定交点坐标.
3.两个一次函数图象交点的坐标是二元一次方程组的解. 三、交流反思
这节课我们学习了一次函数与二元一次方程(组)、 一元一次不等式之间的联系. 能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次不等式和二元一次方程组,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵. 四、检测反馈
1.如图,直线y=kx+b(k<0)与x轴交于点(3,0),关于x的不等式kx+b>0的解集是
A.x<3
B.x>3
C.x>0
D.x<0
( )
2.如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是 ( ) A.x>0
B.x<0
C.x>1
D.x<1
3.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x B.x<3 C.x> D.x>3 - 4 - 4.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-2,3),则方程组 的解是 ( ) A. B. C. D. 5.如图,如果一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组解是 A.( ) B.的 C. D. 6.如图,已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组 的解是________. 7.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ________ . 8.已知两直线y1=2x-3,y2=6-x, - 5 -
八年级数学下册一次函数与方程不等式 教案新人教版
