2019-2020 年中考数学第二轮专题复习
代数综合题
Ⅰ、 合 精 ：
代数 合 是指以代数知 主的或以代数 形技巧 主的一 合 ．主要包括方
程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化 思想、分 思想、数形 合思想以 及代人法、待定系数法、配方法等．解代数 合 要注意 整理教材中的基 知 、基 本技能、基本方法，要注意各知 点之 的 系和数学思想方法、解 技巧的灵活运用， 要抓住 意，化整 零， 深人，各个 破．注意知 的横向 系，从而达到解决 的目的．
Ⅱ、典型例 剖析
【例 1】（ 2005， 水， 8 分）已知关于 2，求方程的另一根和 解： 方程的另一根 ∴ x 1=－ 3. 由 达定理：－ 的一 个根 0，求 k 的 ． 解：把 x=0 代入 个方程，得 ≠－ 4，所以 k＝ l 。
点 ：既然我 已 知道方程的一个根了，那么我 就可以将它代入原方程，
就可以将解关于 x 的方程 化 解关于 的系数不能
0，即 k≠－ 4。
2x +3x－ l ＝ 0．求作一个二次方程，使它的两根
2
x 的一元二次方程 x2－ (k ＋1) x－ 6=0 的一个根是
k 的 ．
x1，由 达定理：
2 x 1=－ 6，
2
2
3+2= k ＋ 1，∴ k=－ 2.
k2－ 3k－4=0，解得 k1＝ l ，k2＝－ 4．因 k+4≠ 0．所以 k
k 的方程．从而求出 b 的解．但 注意需 足 k+4
【例 3】（ 2005，自 ， 5 分）已 方程 分 是已知方程两根的倒数．
解： 2 x 2 +3x － l ＝ 0 的两根 x1、 x2
新方程的两根
1 1 x1 x2
x1
得
x2
x2
,
3 2 1
x1
2
2
1
所以 x
1
1 x2
x1 x2 = x1 x2 =3
所以新方程 y － 3y－ 2=0·
点 ：熟 一元二次方程根与系数的关系是非常必要的
【例 4】（ 2005，内江， 8 分）某 品每件成本 与 品的日 售量
10 元， 段每件 品的日 售价
x（元）
y （件）之 的关系如下表：
x （元）
15 25
20 20
25 15
30 10
? ?
y （件）
⑴在草稿 上描点， 察点的 布，建立 ⑵要使每日的 售利 最大，
y 与 x 的恰当函数模型。
每件 品的 售价 定 多少元？此 每日 售利 是多
少元？
解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上， ∴设 y kx b （k≠0） 用待定系数法求得 y x 40 ， ⑵设日销售利润为
z 则 z
xy 10 y =
x 2 50 x 400 当 x=25 时， z 最大为 225，
每件产品的销售价定为 25 元时，日销售利润最大为 225 元。
点拨：只有正确地建立了平面直角坐标系，才能准确地得出函数的图象，从而由图
象得出函数关系．而日销售利润与销售定价又存在二次函数关系，所以可以利用二次函
数的极值来解决此类问题．
【例 5】（ 2005，海淀模拟， 8 分）一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y=
k2
的图象相交于点
x
m、 n 是关于 x 的方程 a 为整数，求一次函数和反
P(n － l ， n＋ l ），点 Q(0,a ）在函数 y=k 1x+b 的图象上，且
ax2 (3 a 1) x 2(a
比例函数的解析式． 解： ax
1)
0的两个不相等的整数根．其中
2
(3a 1)x 2( a 1) 0 得 x1=2， x2 =1+
1 a
因为方程有两个不相等的整数根，且 所以 m=0， n=2，或 m=2， n=0．
a 为整数，
所以 a=－1， x2 =0 ， (a=1、x1=2 不合题意，舍去 )
所以点 P的坐标为（－ 1，3）或（ 1， 1） 又因为点 Q(0， a）在 y=kx+b 的图象上， 所以 b=a=－ 1。
当点 P 为（－ 1， 3）时，根据题意，得
k1 1 3
k 2 3
解得k 1
1
4
k2
3
,
所以
y=-4x-1,y=-
3 x
当点 P 为(1 ， 1）时，根据题意，得
1
k1 1 1
解得
k2
k1
2
,
所以
y=2x-1,y=
1 x
1
k2
1
所 以 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=-4x-1 或 y=2x-1 ， 对 应 的 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为
y
3
或
xx
y ，
1
点拨 ：解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根．另外，求出整数根之后，
不要忽略 m=2， n=0 的情况。
Ⅲ、综合巩固练习：
1、 (9 分）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值
述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测 值将达到多少？
1990 年为 8．6
亿元人民币， 1995 年为 10．4 亿元人民币， 2000 年为 12． 9 亿元人民币，经论证，上
2005 年该市国内生产总
2．（ 10 分）二次函数 y
在第二象限，且经过点
ax2 bx c 的图象的一部分如图 A（ 1， 0）和点 B（ 0， l ）．
x 轴的另一个交点为
5
2－3－ 1 所示。已知它的顶点 M
（ 1）请判断实数 a 的取值范围，并说明理由；
（ 2）设此二次函数的图象与
C，当 AMC面积为△ ABC面积的 4 倍时，求 a 的值．
3．图 2－3－2 所示，已知一次函数
y=kx+b(k ≠ 0）的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两
C点， CD垂直
x 轴，垂足
点，且与反比例函数
m
y= x (m ≠0）的图象在第二象限交于
为 D，若 OA＝ OB=OD=1。 （ 1）求点 A、 B的坐标；
（ 2）求一次函数和反比例函数的解析式．
4．（ 10 分）已知：如图 2－ 3－ 3 所示，一条直线经过点
直线向左平移与 x 轴负半轴， y 轴负半轴分别交于点为图象的函数解析式．
于
A （ 0， 4），点 B（ 2， 0）将这条
C、点 D，使 DB=DC．求以直线 CD
5．（ 10 分）已知 A（ 8，0）， B（0， 6）， C（ 0，－ 2）连接 A D，过点 C 的直线 l 与 AB 交
于点 P．
（ 1）如图 2－3－ 4⑴所示，当 PB=PC时，求点 P 的坐标；
5
（ 2）如图 2－ 3－ 4⑵所示，设直线 l 与 x 轴所夹的锐角为 α 且 tan α= 4 , 连接 AC，求直线 l 与 x 轴的交点 E 的坐标及△ PAC的面积．
6．已知关于 x、 y 的方程组
x y a 3 2x y 5a
的解满足 x＞y＞ 0．化简： |a|+|3
－ a|.
7．如图 2－ 3－5 所示，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且当 x=0 和 x=2 时 y 的值相等，直线 y=3x— 7 与这条抛物线相交于两点． 其中一点的
横坐标是 4，另一点是这条抛物线的顶点 M。
（ 1）求这条抛物线的解析式；
（ 2）P 为线段 BM上一点，过点 P 向 x 轴引垂线，垂足为 Q，若点 P 在线段 BM上运动， 设 OQ的长为 t ，四边形 P QAC的面积为 S（当 P 与 B 重合时， S 为△ ACB的面积）．求 与 t 之间的函数关系式及自变量
t 的取值范围；
t 为何值时 S 取最大、最小值？最大、
（ 3）S 有无最大、最小值，若有，请分别求出
S
最小值各是多少；若没有，请说明理由．
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