一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在四边形ABCD中，?B??D?180?，对角线AC平分?BAD.
（1）如图1，若?DAB?120?，且?B?90?，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
（2）如图2，若将（1）中的条件“?B?90?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图3，若?DAB?90?，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
【答案】（1）AC?AD?AB.证明见解析；（2）成立；（3）AD?AB?见解析. 【解析】
试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=
2AC.理由
11AC，AB=AC即可解决问题； 22（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB＝2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB． 理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，
11AC，同理AD＝AC． 22∴AC=AD+AB．
∴AB＝
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．
（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．
又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE， ∴AD=BE， ∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°， ∴AE＝
AC＝2AC cos45?∴AD?AB＝2AC.
2．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值； （3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】
试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图1，
∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB．
全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总
