第30届全国中学生物理竞赛决赛考试
试题、解答与评分标准
一、一质量为m的小球在距水平地面h高处以水平速度2gh抛出，空气阻力不计，小球每次落地反弹时水平速度不变，竖直速度大小按同样的比率减小。若自第一次反弹开始小球的运动轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积总和为量。
82h，求小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲212。 3提示：小球每次做斜抛运动（从水平地面射出又落至地面）的轨迹与其在地面的投影之间
所包围的面积等于其最大高度和水平射程乘积的
参考解答：
设小球每次落地反弹时，反弹后的竖直速度大小是反弹前的?倍。第一次落地时竖直速度
为 v0?2gh （1）
第一次反弹竖直速度大小为v0??2gh,0???1
（2）
（3） （4）
v12??2h 第一次反弹高度为h1?2g第一次反弹后飞行时间为t1?2
v12h ?2?gg第一次反弹至第二次反弹时水平方向的位移为x1?2ght1?4?h（5） 小球在第一次反弹至第二次反弹之间的运动轨迹与其在地面 的投影之间所包围的面积为s1?
18h1x1??2h2 33
（6）
设第n次反弹后至n?1次反弹前的最大竖直速度大小和上升的最大高度分别为vn和hn。
（7） （8） （9） （10） （11）
由题意和上述论证知sn?1??vn
2 hn?1??hn
tn?1??tn xn?1??xn
3 sn?1??sn
s1,s2,…构成一无穷递缩等比娄列，其总和为
s?sn?s1(1??3??6????)?n?1?s182?h（12） 31??211
（13） 2
设In表示小球在第n(n?1)次碰撞过程中小球受到的作用力的冲量，由动量定理有 In?mvn?m(?vn?1)?m(1??)vn?1 （14）
由（6）、（12）式有??
由于小球每次反弹前后速度的水平分量不变，小球每次碰撞过程中受到的沿水平方向的总量为零。小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量为
I??In?(mv0)(1??)(1????2????)?mv0n?1?1?? 1??（15）
方向向上。将（13）式代入（15）得I?3mv0?3m2gh （16）
评分标准：本题15分 （1）至（6）式各1分，（11）式4分，（12）至（16）式各1分。 二、（15分）质量均为m的小球1和2由一质量可忽略、长度为l的刚性轻杆连接，竖直地靠在墙角，小球1在杆的上端，如图所示。假设墙和地面都是光滑的。初始时给小球2一个微小的向右初速度。问在系统运动过程中，当杆子与竖墙面之间的夹角等于何值时，小球1开始离开竖直墙面？
参考解答：如图，在小球1未离开竖直墙面之前，杆与竖直墙面之间夹角 为?时，小球1的坐标为 x?0,y1?lcos?， （1） 小球2的速度为x2?lsin?,y2?0 小球1的速度为x1x?式中??
（2）
dx1dy?0,v1y?1???lsin? （3） dtdtd?是杆的转动角速度。小球2的速度为 dtdxdy （4） v2x?2??lcos?,v2y?2?0
dtdt111222222由机械能守恒，有mgl?m(v1x?v1y)?m(v2x?v2y)?mglcos??ml??mglcos?
222（5）
由上式得??2g(1?cos?)
l （6）
社时考虑到随着时间t的增加，?变大，因此??0，从而舍去负根
mx1?mx21（7） ?lsin?
2m2dx1质心速度的x分量为xcx?c??lcos? （8）
dt2dv11d?质心加速度的x分量为acx?cx??2lsin??lcos?
dt22dtd?12gg由（6）式得 ??sin??sin?
dt2l(1?cos?)l系统质心c的x坐标为xc?（9） （10）
在得到上述结果时又利用了（6）式。把（6）、（10）式代入（9）式得
dvcx1?3???gsin?(1?cos?)?gsin?cos??gsin??cos??1? dt2?2?设竖直墙面对小球1的正压力为T，质心c在x方向的运动满足T?2macx acx?由（12）可知，当acx?0时，T?0
（11） （12） （13）
小球1开始离开竖直墙面，由（11）式得，小球1开始离开竖直墙面时，夹角?满足方程
3sin?(cos??1)?0
2 （14）
方程（13）的一个 解满足sin??0，故??0，此角度对应初始位置；方程（13）的另一个解满足
32cos??1?0，故??arccos 23 （15）
此即小球1开始离开竖直墙面时杆与竖直墙面之间的夹角 三、太空中有一飞行器靠其自身动力维持在地球赤道的正上方l??Re处，相对于赤道上的一地面物资供应站保持静止，这里，Re为地球的半径，?为常数，???m，而?m(GM1/3)，Me和?e23?eRe分别为地球的质量和自转角速度，G为引力常数，设想从供应站到飞行器有一根用于运送物资的刚性、管壁匀质、质量为Mp的竖直输送管，输送管下端固定在地面上，并设法保持输送管与地面始终垂直，推送物资时，把物资放进输送管下端内的平底托盘上，沿管壁向上推进，并保持托盘运行速度不致过大，忽略托盘与管壁之间的摩擦力，考虑地球的自转，但不考虑地球的公转，设首某次所推送物资和托盘的总质量 m。
1．在把物资从供应站送到飞行器的过程中，地球引力和惯性离心力做的功分别是多少？ 2．在把物资从供应站送到飞行器的过程中，外推力至少需要做多少正功？
3．当飞行器离地面的高度（记为L0）为多少时，在把物资送到飞行器的过程中，地球引力和惯性离心力所做功的和为零？
4. 如果通过适当控制飞行器的动力，使飞行器在不输送物资时对输送管的作用力恒为零，在不输送物资的情况下，计算当飞行器离地面的高度为L?aRe(???m)时，地面供应站对输送管的作用力；并对L?L0、L?L0、?mReL?L0三种情形，分别给出供应站对输送管作用力的大小和方向。
参考解答：
1．当物资（包括托盘，以下类似）m距地心r处时，物资m与地球系统的引力势能UG 和物资m受到的UG?GMem,FL?m?e2r r （1）
这里已取由地心向外的方向为力和正向，先计算地球引力对物资m所做的功，当物资m分别在供应站和飞行器处时，物资m与地球系统的引力势能为
UG(Re)??GMemGMemGMem,UG(L?Re)???（2） ReL?Re(a?1)Re由功能原理，地球引力对物资m所做的功为
WG?UG(Re)?UG(L?Re)?
GMem??GMemGMem1?1???,U(L?R)?Ge??Re?a?1?()(a?1)Re（3）
再计算惯性离心力对物资m所做的功WL,由于惯性离心力与r成正比，可用物资在供应站处的
惯性离心力和物资在飞行器处的惯性离心力的平均值来计算离心力的功，于是
WL?111?FL(Re)?UG(L?Re)?L?m?e2?Re(L?Re)?L??(??2)m?e2Re2 2221/3 (4)
2. 物资离开供应站后，地球吸引力变小而惯性离心力变大，当惯性离心力大于地球吸引力时，
就不再需要推动物资做功了，因此，需要外力做正功的路程为从出发点到地球吸引力等于惯性离心
?GMe?GMem2?m?er0或r0??2? 力处，令r0为
r02??e?物资到r0处时，地球引力所做的功为
（5）
GMemGMemGMem?Re?（6） ????1??
Rer0Re?r0?112惯性离心力所做的功为WL(r0)??FL(r0)?FL(Re)?(r0?Re)?m?e(r0?Re)
22WG(r0)?UG(Re)?UG(r0)?因此，为了把物资从供应让推送到飞行器，外推力至少需要做的正功为
（7）
Wmin???WG(r0)?WL(r0)??GMem1?m?e2(r02?Re2) Re23GMem?3Re1?Re???1???????0， Re?2r02?r0????这里，利用了（5）式，再将（5）式代入上式得
GMem13?m?e2Re2?m(GMe?e)2/3 （8） Re22?GMem1??(??2)m?e2Re2?0 3. 令（3）式和（4）式之和等于零，则有?(??1)Re2Wmin?即??3??2?1?2??1/2????8GMe1其解为?????3??23?? （10）
2??R?ee????1/2?8GMe??1?舍去?的负根并令?0??????3??1?23?? （11）
2???eRe????1/2????Re8GMe??3??1?23?? 则飞行器到地面的距离为 L0??0Re?2??eRe?????GMe??0 22??cRe? （9）
（12）
4. 为求供应让对输送管的作用力，先计算在输送管向下运动无限小距离l过程中，地球引力、
惯性离心力、地面供应站对输送管作用力所做的功，由于输送管片平衡状态，因此这三个力对任何无限小位移所做功的和为零，为计算地球引力、惯性离心国所做的功，可以把输送管向下运动无限小距离l想象成输送管最上面无限小的一段l（质量为m?mpl/L）无限缓慢地移动到最下面，在此过程中地球引力和惯性离心力所做的功可从类似于上面（3）和（4）中的结果求出，这一无限小的一段l在距地心r处时，地球引力势能和惯性离心力分别为
GMemplGMem1??,FL?m?e2r?mp?e2rl（13） rLrL在输送管最上面无限小的一段l无限缓慢地移动到最下面的过程中，地球引力所做的功为
GMemp?GMemp1?WG?UG(L?Re)?1?l?l（14） ??2LRe?a?1?(a?1)Re112惯性离心国所做的功为WL???FL(Re)?FL(L?Re)?L??(??2)mp?eRel（15）
22取供应让对输送管的作用力Fbase向下为正向，在输送管向下运动无限小距离l过程中，Fbase所UG?做的功为Fbase?Fbasel
（16）
由WG?WL?Wbase?0，有
GMemp(??1)Re21l?(??2)mp?e2Rel?Fbasel?0（17） 2于是，Fbase??12?(a?2)m?Re pe2(a?1)Re2GMempGMemp （18）
?mRe?L?L0若Fbase?0，则供应站对输送管作用力的方向向上，为便于讨论L?L0、L=L0、
三种情形，将（18）式改写为Fbase2m?Re?GMe?1pe2???mp?eRe??(??1)(??2)?23?
(??1)Re222(??1)??eRe?(???0)(????)（19）
2(??1)式中，??由（10）式给出，?0由（11）式给出，对于L?L0，变即???0，供应站对输送管作用力的大小由（18）式或（19）式给出，方向向下，对于L=L0，变即???0，由（19）式有
Fbase=0（L=L0） (20)
对于?mRe?L?L0,变即?m?L??0，由（19）式可知Fbase?0，在此情形下，供应站输送管作用
GMem12?(a?2)m?Re 力的大小为Fbase= （21） pe2(a?1)Re2?2(??1)方向向上
四、一电路包含内阻为Re、电动势为E的直流电源和N个阻值均为R的相同电阻，有N+1个半径为r的相同导体球通过细长导线与电路连接起来，为消除导体之间的互相影响，每个导体球的外边都用内半径为r0(?r)的同心接地导体薄球壳包围起来，球壳上有小缺口容许细长细长导线进入但与其绝缘，如图所示，把导体球按照从左向右的顺序依次编号为1到N+1，所有导体球起初不带电，开关闭合达到稳定状态后，导体球上所带的总电量为Q，问导体球的半径是多少?已知静电力常量为
mp?e2Re(????)(????)?mp?e2Rek.
参考解答：
开关闭合经过较长时间后，电路中将流过稳定的直流电流，导体球上也将有稳定的电荷分布，设第i个导体球所带电量为?Qi，这些电荷必定分别均匀分布在两个球面上，因而导体球和外球壳之间的电势差为
?11?U1?kQi???
?rr0??11?U1?kQi???
?rr0? （1）
而外面的导体球壳是接地的，所以第i个导体本身的电势就是
将（2）式两边对所有的导体求和，得
N?1?11?k???Q??U1
i?1?rr0? （3）
第30届全国中学生物理竞赛决赛试题与答案(2013年)
