步骤规范练——数列
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一、填空题
1．(2013·济南模拟)在等差数列{an}中，a2＋a8＝4，则它的前9项和S9＝________. 9?a1＋a9?9×4解析 在等差数列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝＝2＝18.
2答案 18
2．(2014·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若a3＝6，S3
＝12，则公差d＝________.
3?a1＋a3?3?a1＋6?解析 在等差数列中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，所以解得d
22＝2. 答案 2
3．(2013·重庆卷)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
7
解析 因为2，a，b，c,9成等差数列，所以9＝2＋4d，即公差d＝4，所以c77
－a＝2d＝2×4＝2. 7
答案 2
4．(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝______.
解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化简得2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2. 答案 2
5．(2014·扬州模拟)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2
＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
3
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝2或－1(舍去)． 3
答案 2
6．(2013·镇江模拟)已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝________.
2
解析 由a2a4＝a3＝16，解得a3＝4，又a1＝1，
∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值为5.
∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12
＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8) ＝－15＋240＝225. 答案 225
π7．(2014·长春模拟)在等差数列{an}中，a7＝4，则tan(a6＋a7＋a8)等于________． 3π解析 在等差数列中a6＋a7＋a8＝3a7＝4， 3π
所以tan(a6＋a7＋a8)＝tan4＝－1. 答案 －1
8．(2013·安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝________.
解析 由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大． 答案 5或6
9．(2013·荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
124＋156解析 设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝
4
n?a1＋an?70n
＝210，∴210＝22，∴n＝6. 答案 6
2
10．(2013·河南三市调研)在公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a7＋2a11＝0，
数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析 因为{an}是等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以2a3－a27＋2a11＝4a7－a27＝0，解得a7＝0或4，因为{bn}为等比数列，所以bn≠0，所以b7＝a7＝4，
2
b6b8＝b7＝16.
答案 16
11．(2013·西安五校联考)已知a1，a2, a3，a4是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝________.
解析 由题意知a1＞0，q＞0，若删去a1，得2a1q2＝a1q＋a1q3，解得q＝1(舍1＋5去)；若删去a2，得2a1q＝a1＋a1q，即(q－1)(q－q－1)＝0，解得q＝2；
2
3
2
－1＋5若删去a3，得2a1q＝a1＋a1q，即(q－1)(q＋q－1)＝0，解得q＝；
2
3
2
1＋5
若删去a4，得2a1q＝a1＋a1q，解得q＝1(舍去)，综上可得q＝2或q＝
2
－1＋5. 2答案
1＋5－1＋5
2或2
12．(2014·皖南八校模拟)已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为________．
1
解析 由题意知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝2，又n＝1时其图象过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差
1n3
为2的等差数列，an＝2＋2，得a7＝5. 答案 5
13．(2014·成都一模)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.
解析 设每节竹竿的长度对应的数列为{an}，公差为d，(d＞0)．
2
由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a6＝a1an.
由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，
∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16. 答案 16
2*14．(2014·南通模拟)在数列{an}中，若a2n－an＋1＝p(n≥1，n∈N，p为常数)，则
称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列； ②{(－1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．
2222
解析 ①正确，因为a2n－an＋1＝p，所以an＋1－an＝－p，于是数列{an}为等
差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等
222222方差数列．③正确，因为a2kn－akn＋k＝(akn－akn＋1)＋(akn＋1－akn＋2)＋(akn＋2－22a2则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列． kn＋3)＋…＋(akn＋k－1－akn＋k)＝kp，
答案 ①②③ 二、解答题
15．(2013·陕西卷)设Sn表示数列{an}的前n项和． (1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；
1－qn
(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数
1－q列．
解 (1)设公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an， 又Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
两式相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)， n?a1＋an?n?n－1?∴Sn＝＝na＋1
22d. (2)数列{an}是等比数列，证明如下： 1－qn
∵Sn＝，
1－q
1－qn＋11－qnqn?1－q?n
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝q.
1－q1－q1－qan＋1qn
∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有a＝n－1＝q.
qn因此，{an}是首项为1且公比为q(q≠0)的等比数列．
16．(2014·浙江五校联考)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn. 解 (1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2. 又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1. (2)当n＝1时，b1＝a1＝1； 当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2?1，n＝1，
?∴bn＝?2n－2
，n≥2.??n
n－2
2n－2
，即bn＝n，
1
17．(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
b1b2bn1
(2)若数列{bn}满足a＋a＋…＋a＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
2
n
创新设计高考数学苏教文一轮方法测评练：步骤规范练——数列
