专题06 非线性关系问题
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一、数形结合法 .................................................................... 1 二、数学解析法 .................................................................... 8
两个物理量之间的关系是一次函数关系，其图象是一条直线。比如加速度与合外力关系，电压与电流的关系。如果两个物理量不是一次函数关系，其图象是各种各样的曲线，它们是非线性关系。非线性关系问题是中学物理教学中的难点，也是每年全国各地高考物理试题中的热点。
按解题方法把这些问题进行梳理分类，大致可分为数形结合法、数学解析法等几种类型。通过解析，以期对高三物理复习教学工作有所启迪。 一、数形结合法
数形结合法是定性分析非线性关系问题的最基本方法。这是因为在高中物理中，非线性关系问题的研究重点是定性分析。解决这类问题首先要定性地画出所要求的物理量与相关量的函数图象，按曲线所体现的物理意义来解释具体的物理问题，曲线的物理意义主要包括：曲线纵坐标随横坐标变化的物理意义，坐标值正负的物理意义，曲线与横轴、纵轴交点的物理意义，曲线上任意一点切线斜率的物理意义，曲线与横轴所围面积的物理意义等方面。
典例1.（19年全国2卷）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（ ）
A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度比第一次的大
D. 竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 【答案】BD
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【解析】A．由v-t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A错误；
B．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确 C．由于v-t斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由a?v?v0易知a1>a2，故C错误 tD．由图像斜率，速度为v1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a1>a2，由G-fy=ma，可知，fy1 【总结与点评】v-t图面积表示下落的纵向位移，可以数格子比较两种情况下的位移大小，纵向的阻力与纵向速度正相关，两种情况由于运动员姿势不同，受力面不同，因此正相关系数不同，导致纵向的速度时间图象不同。 针对训练1.如图所示的电路中，电源的电动势为E,内阻为r,电感L的电阻不计，电阻R的阻值大于灯泡D的阻值，在t=0时刻闭合开关S,经过一段时间后，在t=t1时刻断开S,下列表示A、B两点间电压UAB随时间t变化的图像中，正确的是（ ） 【解析】当开关闭合时，电感线圈的感抗非常大，当电流稳定后，感抗为零，因此，从开关闭合到电流稳定，干路电流逐渐增大，路端电压逐渐减小，电流由A→B。断开开关后线圈自感放电，电流逐渐减小,电流由B→A,BA间电压也逐渐减小。所以选择B 【点评与总结】要弄清楚干路电流稳定前的变化以及内外电路电压的变化，同时要明确流过灯泡电流方向相反在图象中的意义。 典例2．（18年江苏卷）如图所示，竖直放置的 形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均 为d，磁感应强度为B．质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等．金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g．金属杆（ ） 2 A刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下 B穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间 C穿过两磁场产生的总热量为4mgd m2gR2D释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于 442BL【答案】 BC 【解析】设进入磁场时速度为v1，出磁场时速度为v2，因为进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等．而在间距中， a2?g，是匀加速运动，所以在磁场中，做减速运动，是非匀减速运动，所以刚进入磁场Ⅰ时加速度方向 竖直向上，A错误； B2L2v因为在磁场中，加速度大小为a1??g，随着速度的减小，加速度减小，所以是加速度逐渐减小的 R减速运动，可以画出x?t图象草图如下： 因为位移相等都为d，所以t1?t2，即B正确； 在穿过两个磁场和一个间距的过程中，根据动能定理mg?3d?Q?2v12?v2?2gd，解得Q?4mgd，C正确； 12m(v2?v12)，在间距中2在磁场中，加速度a1?BLvmgR2?g?0（设向上为正），所以v?，在进入磁场前，v?2gh，所以 mRBLm2gR2h>，D错误。 442BL【点评与总结】金属棒进入第一磁场区域到刚进入第二磁场的运动过程，要定性地画出速度时间图象，通过对图象的面积与斜率的理解，解决相关问题。金属棒通过第一磁场区域与通过第二磁场的运动过程完全一样，因此在两个磁场区域中安培力做功相等，焦耳热相等。 3 针对训练2.如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（ ） A． 物块经过P点的动能，前一过程较小 B． 物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少 C．物块滑到底端的速度，前一过程较大 D．物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长 【解析】从整个过程来看，两种情况的摩擦力做功相等，所以滑到底端的速度大小相等。两个过程相比较，小物块滑到P点可以先总体比较出前一过程的摩擦力大，前一过程的合力小，再比较合力做功是前一过程小，因此动能也小。 至于两个过程中小物块滑到底端的时间，由于速度与时间是非线性关系，定量计算无法展开，可以比较两个过程 图象得出结论。我们很容易分析出前一过程的加速度是逐渐增大，而后一过程的加速度是逐渐减 小的，根据两个过程的加速度的变化特征以及小物块滑到底端的位移与速度的大小相等作出如图图象就可以比较出前一过程时间较长。所以 本题选择AD。 【点评与总结】在研究动力学中的非线性关系问题时，要培养学生利用速度时间图象法解决问题的意识，洞察两个物理量的变化关系，建立合适的坐标系画出图象，以便解决相关的物理问题。利用图像除了比较出滑到底端的时间大小，也可比较出滑到点动能的大小。本题是建立图象等。 典例3（19年北京卷）电容器作为储能器件，在生产生活中有广泛的应用。对给定电容值为C的电容器充电， 图象，有时须建立 图象、 4 无论采用何种充电方式，其两极间的电势差u随电荷量q的变化图像都相同。 （1）请在图中画出上述u–q图像。类比直线运动中由v–t图像求位移的方法，求两极间电压为U时电容器所储存的电能Ep。 （2）在如图所示的充电电路中，R表示电阻，E表示电源（忽略内阻）。通过改变电路中元件的参数对同一电容器进行两次充电，对应的q–t曲线如图中①②所示。 a．①②两条曲线不同是______（选填E或R）的改变造成的； b．电容器有时需要快速充电，有时需要均匀充电。依据a中的结论，说明实现这两种充电方式的途径。 （3）设想使用理想的“恒流源”替换（2）中电源对电容器充电，可实现电容器电荷量随时间均匀增加。请思考使用“恒流源”和（2）中电源对电容器的充电过程，填写下表（选填“增大”、“减小”或“不变”）。 电源两端电压 通过电源的电流 “恒流源” （2）中电源 CU2【答案】 (1). EP? (2). R 要快速度充电时，只要减小图2中的电阻R；要均匀充 2电时，只要适当增大图2中的电阻R即可 (3).. 增大 不变 不变 减小 【解析】由电容器电容定义式C?q得到u?q图象，类比v?t图象求位移求解电量，由图3斜率解决两种u充电方式不同的原因和方法；根据电容器充电过程中电容器两极板相当于电源解答 5
高考物理复习攻略之方法汇总专题06非线性关系问题含解析
