§1.1.3 导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f?(x0)的几何意义是什么呢？ (二)、探究新知，揭示概念 1曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n?1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点
P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
图1.1-2
我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ ⑵切线PT的斜率k为多少？
容易知道，割线PPn的斜率是kn?线PT的斜率k，即k?limf(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切
xn?x0?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)
?x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （三）、分析归纳，抽象概括 2导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k
?x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标;
②求出函数在点x0处的变化率f?(x0)?lim线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
3导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0) 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x?x?0f(x0??x)?f(x0)?k ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切
?x
的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，
即: f?(x)?y??lim?x?0f(x??x)?f(x)
?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
'(3）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的
导数的方法之一。
（四）、知识应用，深化理解 2例1:求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程. [(1??x)2?1]?(12?1)2?x??x2?lim?2, 解：y?|x?1?lim?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0 例2．（课本例2）如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(x)??4.9x2?6.5x?10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．
解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当t?t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，
在t?t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当t?t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h?(t1)?0，所
以，在t?t1附近曲线下降，即函数
h(x)??4.9x2?6.5x?10在t?t1附近单调递减．
当t?t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h?(t2)?0，所以，在t?t2附近曲线下降，即函数
h(x)??4.9x2?6.5x?10在t?t2附近单调递减．
从图1.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c?f(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：． min）变化的图象．根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．
如图1.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作t?0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
k?0.48?0.91??1.4
1.0?0.7所以 f?(0.8)??1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
t 药物浓度瞬时变化率f(t) '0.2 0.4 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4
四．课堂练习
2
1．求函数y=3x在点(1,3)处的导数.
3x2?3?123(x2?12)?lim?lim3(x?1)?6 因为y?|x?1?limx?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0 2．求曲线y?x在点(4,2)处的切线．
（五）、归纳小结、布置作业 教师提出问题：
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义
布置作业：.课本P10，习题1.1A组6；P65参考复习题1
[整合]人教A版高二数学选修2-2 第一章 第一节 1.1.3导数的几何意义（同步教案）
