第一讲 函数与极限
知识结构：
1
§1.1 函数
一、知识要点
1. 实数及其性质 1.1实数
??正分数,q有理数(p,q为整数且q?0)或有限小数和无限小数.??
p负分数,??
?无理数:用无限不循环小数表示. ?
1.2实数常用性质． (1) 封闭性：
(实数集R对?,?,?,? )四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为０)仍是实数． (2) 有序性：
任意两个实数a,b必满足下列关系之一：a?b,a?b,a?b． (3) 传递性；
a?b,b?c?a?c．
(4) 阿基米德性：
?a,b?R,b?a?0??n?N使得na?b．
(5) 稠密性：
两个不等的实数之间总有另一个实数． (6) 一一对应性
实数集R与数轴上的点有着一一对应关系． 1.3绝对值与不等式(分析论证的基本工具)． (1) 绝对值的定义：
?a,a?0实数a的绝对值的定义为a??．
?aa?0?(2) 绝对值几何意义：
从数轴看，数的绝对值a就是点a到原点的距离．此相应，x?a表示就是数
2
轴上点x与a之间的距离． (3) 绝对值性质：
① a??a?0;a?0?a?0(非负性)； ② ?a?a?a；
③ a?h??h?a?h，a?h??h?a?h.(h?0)； ④ 对任何a,b?R有a?b?a?b?a?b(三角不等式)； ⑤ a?b?a?b； ⑥
bb
? (a?0)． aa
(4) 几个典型的公式： ① 二项式定理
(a?b)??Cnkakbn?k；
n
k?0n
② 伯努利不等式
(1?x)n?1?nx,(x??1)；
③ 柯西不等式：
设为ai,bi,i?1,2,?,n两组实数，则有?(aibi)??a??bi2.
2
i?1
i?1
2
i
i?1
n
n
n
④ n次方差公式：
bn?an?(b?a)(bn?1?bn?2a?bn?3a2???an?1)
⑤ 关系
(n?1)p?1?np?1
n??(n?1)p
p?1
p
3
2.区间与邻域 2.1区间
??
?开区间: ?x?R|a?x?b??(a,b)?
有限区间?闭区间: ?x?R|a?x?b??[a,b]
?
??x?R|a?x?b??[a,b)?半开半闭区间:??????x?R|a?x?b??(a,b]?
??x?R|x?a??[a,??).
?
??x?R|x?a??(??,a].?
无限区间??x?R|x?a??(a,??).
??x?R|x?a??(??,a).????x?R|???x?????R.2.2 邻域 (1)a的?邻域：
设a?R,??0，满足不等式|x?a|??的全体实数x的集合称为点a的?邻域，记作U(a;?)，或简记为U(a)，即
U(a;?)??x|x?a|????(a??,a??).
(2) 点a的空心?邻域
U?(a;?)??x0?|x?a|????(a??,a)?(a,a??).
(3) a的?右邻域和点a的空心?右邻域
U?(a;?)?[a,a??)??xa?x?a???;
?
U?(a;?)?(a,a??)??xa?x?a???.
(4) 点a的?左邻域和点a的空心?左邻域
U?(a;?)?(a??,a]??xa???x?a?;
?U?(a;?)?(a??,a)??xa???x?a?.
(5) ?邻域，??邻域，??邻域
U(?)??x|x|?M?, (其中M为充分大的正数)；
4
U(??)??xx?M?； U(??)??xx??M?.
2.3 有界集 (1) 有上界
设S为R中的一个数集，?M?0,?x?S,x?M，则称S为有上界的数集．数
M称为S的上界； (2) 有下界
?M?0,?x?S,x??M；
(3) 有界
?M?0,?x?S,x?M； (4) 无上界
?M?0,?x0?S,x0?M； (5) 无下界
?M?0,?x0?S,x0??M； (6) 无界
?M?0,?x0?S,x0?M. 2.4 确界原理 (1) 上确界的定义
设S是R中的一个数集，若数?满足： ① 对一切x?S,有x??(即?是S的上界);
② 对任何???，存在x0?S，使得x0??(即?是S的上界中最小的一个)；
②? ???0,?x0?S,??x0??；
则称数?为数集S的上确界，记作：??supS. (2) 下确界的定义
设S是R中的一个数集，若数?满足：
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