习题二
2-1.两质量分别为m和M (M?m)的物体并排放在光滑的水平桌面上,现有一水平力F作用在物体m上,使两物体一起向右运动,如题图2-1所示,求两物体间的相互作用力。 若水平力F作用在M上,使两物体一起向左运动,则两物体间相互作用力的大小是否发生变化?
解:以m、M整体为研究对象, 有
题图2-1
F?(m?M)a…①
以m为研究对象,如解图2-1(a),有
F?FMm?ma…②
由①、②两式,得相互作用力大小
FMm?MF
m?M若F作用在M上,以m为研究对象,如题图2-1(b)有
FMm?ma…………③ 由①、③两式,得相互作用力大小
解图2-1
FMm?mF 发生变化。
m?M 2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体,两物体的质量分别为M1和M2 ,在M2上再放一质量为m的小物体,如题图2-2所示,若M1=M2= 4m,求m和M2之间的相互作用力,若M1=5m,M2=3m,则m与M2之间的作用力是否发生变化?
解: 受力图如解图2-2,分别以M1、M2和m为研究对象,有 T1?M1g?M1a
题图2-2
(M2?m)g?T2?(M2?m)a mg?FM2m? ma
又 T1?T2,则
FM2m =
2M1mg
M1?M2?m解图2-2
当M1?M2?4m时
FM2m?8mg 9当M1?5m,M2?3m时
FMm?210mg,发生变化。 9
2-3.质量为M的气球以加速度a匀加速上升,突然一只质量为m的小鸟飞到气球上,并停留在气球上。若气球仍能向上加速,求气球的加速度减少了多少?
解:设f为空气对气球的浮力,取向上为正。 分别由解图2-3(a)、(b)可得
f?Mg?Ma
f?(M?m)g?(M?m)a1
由此解得
a1?解图2-3
Ma?mg
m?Mm?a?g??a?a?a1?
m?M
2-4.如题图2-4所示,人的质量为60kg,底板的质量为40kg。人若想站在底板上静止不动,则必须以多大的力拉住绳子?
解:设底板和人的质量分别为M,m,以向上为正方向,受力图如解图2-4(a)、(b)所示,分别以底板、人为研究对象,则有
T1?T2?F?Mg?0 T3?F'?mg?0
F为人对底板的压力,F'为底板对人的弹力。有 F?F? 又因为
T2?T3?则
T2?T3?题图2-4
1T1 2(M?m)g?245N 4解图2-12
人对绳的拉力为245N。
2-5.一质量为m的物体静置于倾角为?的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为?。试问:至少要用多大的力作用在物体上,才能使它运动?并指出该力的方向。
解:如解图2-5建立坐标系,设x方向沿斜面向上为正方向。在mg与N所在的平面上加一外力F,且0???(若
?2
?2????,此时F偏大)则
?Fcos??mgsin??f?0
f??N
解图2-5
N?Fsin??mgcos??0
解出
F?mg(?cos??sin?)
?sin??cos?要求F最小,则分母?sin??cos?取极大值,所以?sin??cos?对?求导为零
?cos??sin?=0 得 tan??? 带入上式
则
?sin??cos????1??22? 11??2?1??2 即 Fmin?此时
mg(?cos??sin?)1????arctan?
2-6. 一木块恰好能在倾角?的斜面上以匀速下滑,现在使它以初速率v0沿这一斜面上滑,问它在斜面上停止前,可向上滑动多少距离?当它停止滑动时,是否能再从斜面上向下滑动?
解:匀速下滑时
mgsin???mgcos?
则
??tan? ① 向上滑动时
?mgsin???mgcos??ma ②
20?v0?2aS ③
联立求解得
2 S?v0/(4gsin?)
当它停止滑动时,会静止,不再下滑.
2-7. 5kg的物体放在地面上,若物体与地面之间的摩擦系数为0.30,至少要多大的力才能拉动该物体?
解:受力分析如解图2-7所示
Fcos??f??N??(mg?Fsin?)
则
F??mg
cos???sin?解图2-7
要求F最小,则分母cos???sin?取极大值
所以 cos???sin? 对?求导为零,类似题2-5解得
tan??? 带入F公式,则 Fmin=
?mg1+?2?14.08N
2-8. 两个圆锥摆,悬挂点在同一高度,具有不同的悬线长度,若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同,试证这两个摆的周期相等.
证 如解图2-7所示,设两个摆的摆线长度分别为l1和l2,摆线与竖直轴之间的夹角分别为?1和?2,摆线中的张力分别为F1和F2,则 F1cos?1?m1g?0 ①
2m1v1 F1sin?1? ②
l1sin?1解得
v1?sin?1gl1cos?1
第一只摆的周期为 T1?2?l1sin?1?2?v1 l1cos?1 gm1 m2 解图题2-8 2-8
同理可得第二只摆的周期 T2?2?由已知条件知
l1cos?1?l2cos?2 所以这两个摆的周期相等
T1?T2
2-9. 质量分别为M和M+m的两个人,分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬,开始时两人与
l2cos?2 g
滑轮的距离都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计,绳长不变。试证明,如果质量轻的人在t秒末爬到滑轮,这时质量重的人与滑轮的距离为
m?12?h?gt? (假定人和绳子之间的摩擦力是恒定的) ?M?m?2?
证明:如解图2-9(b)、(c),分别以M、M+m为研究对象,设M、M+m对地的加速度大小分别为a1(方向向上)、a2(方向向下),则对M,有
1h?a1t2
2f?Mg?Ma1
则对M+m,有
(M?m)g?f'?(M?m)a2
而
f?f' 则
a2=mgt-2Mh
(M+m)t22(b) (c)
解图2-9
则质量重的人与滑轮的距离
1m?12?h??h?a2t2?h?gt? 此题得证。 ?2M?m?2?2-10.质量为m1?10kg和m2?20kg的两物体,用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上,
?2以F?200N的力沿弹簧方向作用于m2,使m1得到加速度a1?120cm?s,求m2获得的加
速度大小。
解:物体的运动如解图2-10(a ),以m1为研究对象,受力分析如解图(b)所示,有
F1?m1a1
以m2为研究对象,受力分析如解图(c)所示,有
F?F1'?m2a2
因为
' F1?F1
则
a2?F?m1a1?9.4m?s?2 m2解图2-10
2-11. 在一水平的直路上,一辆汽车以v = 108 km·h?1 的速度运行, 刹车后经 s =35m 距离
新编基础物理学第二版第二章习题解答(供参考)
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