第七讲：数字谜
教学目标
数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问。
知识点拨
一、数字迷加减法
(1)个位数字分析法
(2)加减法中的进位与错位(3)奇偶性分析法
二、数字迷乘除法
数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质
三、数字谜问题解题技巧
⑴解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；⑵要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
⑶题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
⑷注意结合进位及退位来考虑；
⑸有时可运用到数论中的分解质因数等方法．
例题精讲
【系列一：数字迷】
【例1】在“庆元旦”晚会上，主持人小丽出了这样两道题目：
请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字?
【解析】1、先填个位，已知6＋口的个位为1，所以口=5，且个位向十位进1．再填十位，由于个位向十
位进1，十位上数□＋7＋1的个位数为1，所以十位数□应填3，且十位向百位进1．最后填百位，由十位进1，可知百位□填1．
2、我们可以从位数入手．被减数是一个三位数，减数是一个两位数，差是一个一位数，应能推出它的被减数应尽可能的小，减数应尽可能大．再从个位入手，可知，被减数的个位是2，且个位向十位借1，而差的百位、十位上均无数字，说明被减数的百位是1，而减数十位上的数字是9．当然此题也可反着想：□6+6=□0□，也可推出答案．
【例2】在下面算式的空格内，各填上一个合适的数字，使算式成立．
【解析】解题关键：在算式中，个位上已经给出了两个数字，因此选择个位上的空格做为解题突破口．
（1）填个位第一个加数个位上的空格填9．
（2）填千位千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此只能是1．
（3）填百位第二个加数的百位数字最大是9，而和是四位数，因此算式中十位上数字之和必须向百位进1，所以第二个加数的百位上填9，和的百位上填0．
（4）填十位由于两加数个位上数之和向十位进1，十位上的数相加后又向百位进1，因此第二个加数十位上的空格应填8或9．于是此题有两个答案，即：
【例3】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现
已写出3个数字，请把这个算式补齐．
【解析】解题关键：由算式知，和的千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此把确定千位数字做
为突破口
（1）填千位据上分析，千位上只能填1．
（2）确定百位为了能使百位向千位进l，所以第一个加数的百位可能是9或7．(因为8已用过)试验：若百位上填9，则和的百位只可能是1或2，而1和2都已用过，因此百位上不能填9，只能填7．则和的百位为0，且十位向百位进1，这时竖式为：
（3）确定剩下的4个空格现在只剩下四个数字没有用，它们是9、6、5、3.试验：若第二个加数的个位填5，和的个位为9，剩下的数字6、3不能满足十位上的要求.若第二个加数的个位填9，和的个位为3，剩下的数字5、6正好满足十位上的要求，即第一个加数的十位填6，和的十位填5．此题的答案为
【例4】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．
【解析】解题关键：这是一道四位数减去三位数差为两位数的减法，所以选择被减数的千位做为解题突破
口．又由于个位上已知两个数字，因此先从个位入手填．①填个位由于个位这一列只有一个待定的数，减数的个位应为9，且个位向十位借1．②填千位四位数减去三位数差为两位数，所以被减数的千位数字是1，且百位向千位借1．③填百位由于差是两位数，所以被减数的百位数字为0，十位也向百位借1．这样百位向千位借1当10，十位又向百位借1，还剩9，9-9=0，因此减数的百位应填9．④填十位由于十位向百位借1，所以被减数的十位数字不得超过减数的十位数字，即被减数的十位数字是0或1，那么差的十位数字为8或9．此题有两个答案.
【例5】把数字1～5分别填写在下面算式中的口里．
【解析】这题限制了所需要填的五个数字，且个位这一列只有一个空格，因此把确定个位数字做为解题突
破口．①填个位显然，差的个位上填1．②填百位由差的十位数字8知，十位上数相减时，要向被减数的百位借1，这样百位上有9-1-口=口知，减数的百位填3或5，相应的差的百位上填5或3.○3填十位现在只剩下2、4两个数，分别填在被减数和减数的十位上，正好满足题目要求．
【例6】下面的算式里四个小纸片各盖住一个数字，问被盖住的四个数字的和是多少?
【解析】求被盖住的四个数字的和，对于这四个数具体是几并不十分重要．而和149的个位是9，所以个
位数相加没有进位，即个位上两个数的和是9．十位上两个数的和是14．因此，被盖住的四个数字的和是14＋9=23．【例7】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．
【解析】这是一道加减法混合运算的填空格题，我们把加法、减法分开考虑，使问题简化：1．加法①
填十位从算式可以看出，第二个加数与和的十位上都是9，所以个位上数字之和一定向十位进了1，十位数字之和也向百位进了1，因此算式中十位上应是□＋9＋1=19，故第一个加数的十位上填9．②填个位由于个位上1＋口的和向十位进1，所以口中只能填9，和的个位就为0．③填百位和千位由于两位数加三位数，和是四位数，所以百位上数相加后必向千位进1．这样第二个加数的百位应填9，和的千位填1，和的百位填0.
2．减法①填个位由于被减数的个位是0，差的个位是4，因此减数的个位应填6.②填十位、百位由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位必须是9，同时十位相减时必须向百位借1，这样减数与差的十位也只能填9．【例8】算下面竖式中的汉字各代表多少?
我=()爱=()数=()学=()
【解析】先看千位数，两个相同数相加，不可能是9，那么一定是百位向千位进了1，所以千位上是4，由
于百位向千位进了1，因此，爱+爱=10，则爱=5，十位没有向百位进1.再看十位数，和是5，肯定个位进上了1，所以十位上数=2，个位上的数，学+学=16，则学=8，即：4528+4528=9056.我=(4)，爱=(5)数=(2)，学=(8)【巩固】下面竖式中的汉字各代表多少?
【解析】我=（2）爱=（6）北=（3）京=（5）
【例9】下面的符号代表几？
【解析】△=（8）
【例10】求当它们各代表什么数字时，能够使算式成立?
【解析】被减数是一个四位数，减数是个三位数，所得的差是一个三位数，说明百位要向千位借l，千位
借走后无剩余，说明“儿”=1．因为百位上减1需要借位，所以“童”就只能取0，而十位上“节-童”肯定够减，不用向百位借位，这样从百位可得出“节”=9的结论．个位上分析可得出“乐”=8．即如上式所示．【例11】请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?
【解析】首先我们可以确定百位的“数”=1，看个位，“爱”+5=2，所以“爱”=7；再来观察上面的减法
算式：“学”4-67=17，可见“学”=8；再来观察下面的加法算式：17+“我”5=112，可得“我”=9.答案如上.【例12】相同的英文字母代表相同的数字，你知道下面A、B、C代表几？
【解析】这道题的突破口是要从百位上的B进行思考，一个两位数加两位数，得数是一个三位数.那么这
个三位数百位可能是1或者2.假设B=2，那么十位A+2+A=22，这种情况不存在.因此可以肯定B=1，十位上A+1+A=11，如果个位向十位进一，那么2个A=9，也不可能，因此2个A=10，A=5.当A=5时，看个位1+C+C=5，C=2.答案如下：【巩固】下面竖式中的字母和符号各代表多少?
【解析】
A=（C=（41）B=（）
5）
□=（2）△=（○=（5）
9）
【例13】请你算一算，下面竖式中每个字各代表几？
兵炮马卒+ 兵炮车卒车卒马兵卒
【解析】兵=(5)炮=(2)马=(4)车=(1)卒=(0)
我们从个位开始观察，卒+卒=卒，只有0+0=0，所以卒=0；再看和是一个五位数，所以车=1；再看千位，兵+兵=10，所以兵=5；然后看十位，马+车=兵，也就是马+1=5，所以马=4；最后看百位炮+炮=4，所以炮=2.【巩固】在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=________？
stva+vtstttvtt【解析】两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定t=1，那么百
位不可能向千位进位，所以s+v=11，十位向百位进了1位，所以v=t+t+1=3，可得s=11?3=8．
又因为a+t=t，所以a=0，四位数tavs为1038。
【例14】下面各数字表示几？
【解析】从个位看“宵”+“宵”+“宵”=4，可见“宵”=8，向十位进2.“元”+“元”+“元”=7，可见“元”=9，向百位进2.“度”+“度”=8-2=6，因此“度”=3，“欢”=1.
9-2=
【巩固】如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．求使算式成立的
汉字所表示的数字
学数学爱数学
+
喜爱数学2008
【解析】将竖式化为横式就是：1000×喜+200×爱+30×数+4×学=2008，从“喜”到“学”依次考虑，
并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于0，可以得到：喜=1，爱=4，数=6，学=7。【例15】在下面的加法算式中，第—个加数的各位数字之和恰好是和的各位数字之和的2倍．则第一个加数是多少?
【解析】第一个加数是：169，和是170，1+6+9=16，1+7+0=8，16是8的2倍.
【例16】下面的算式里，每个方框代表一个数字，问：这6个方框中数字的总和是多少?
【解析】这6个方框中数字的总和是47．
【例17】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，
可以推算出： + + +☆=_______.
+ ☆☆
【解析】比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，
得到“□”=0，这与“□”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“□+□”肯定进位，那么百位上有“□+□+1=10+□”，从而“□”=9，“☆”=8。再由个位的加法，推知“○+△=8”．从而“ + + +☆=9+8+8=25”．【例18】下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字
爱好真知+数学更好数学真好玩
【解析】题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为1，所以“数”=1。再看
千位，由于百位至多进1位，而“爱”+“数”+1最大为9+1+1=11，所以“学”不超过1，而爱好真知“数”为1，所以“学”只能为0．竖式变为+10更好。
10真好玩
那么“真”至少为2，所以百位不可能进位，故“爱”=10?1=9。由于“好”和“真”不同，所以“真”=“好”+1，十位向百位进1位。如果个位不向十位进位，则“真”+“更”=“好”+10，得到“更”=9，不合题意，所以个位必定向十位进1位，则“真”+“更”+1=“好”+10，得到“更”=8。现在，“真”=“好”+1，“知”+“好”=10+“玩”．“真”、“好”、“知”、“玩”为2，3，4，5，6，7中的数。由于“玩”至少为2，而“知”+“好”最大为6+7=13，所以“玩”为2或3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为6和7，此时无论“好”为6还是7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”与“好”分别为5和7，只能是“知”=7，“好”=5，“真”=6。此时“数学真好玩”代表的数是10652。
【例19】（2008年“迎春杯”高年级组复赛)将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？1
【解析】9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之+
和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有18+19+8=45．
2008所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要
使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位
只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．
课后练习
练习1.帮小红把墨迹破坏的算式写完整.
【解析】
练习2.下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已
知BAD不是3的倍数，GOOD不是8的倍数，那么ABGD代表的四位数是多少？
BAD+BADGOOD【解析】首先可以确定D的值一定是0，G的值一定是1，所以GOO=BA+BA，可见GOO为偶数，只能
是122、144、166、188，由于BAD不是3的倍数，GOOD不是8的倍数，所以GOO不是3的
倍数，也不是4的倍数，可以排除144和188，再检验122和166可知只有166符合，此时BAD为830，所以ABGD的值为3810。
练习3.下面方框可以填什么数？
【解析】这道题两个加数都不知道，只知道两个数的和，我们要知道这两个加数是多少，就要先找到解决问题的突破口.两个两位数的和是191，两个加数十位上数字都必须是9，而个位上两个数字的和要进位才能使十位数字的和是9，这样个位上两个数字和应该是11.因为2+9=11，3+8=11，4+7=11，5+6=11，所以答案有：
（答案不唯一，两个加数的顺序也可以颠倒写）
练习4.
请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?
【解析】我=（9）爱=（5）数=（3）学=（4）
练习5.下边的加法算式中，□内这四个数字之和是多少?
【解析】□内的数字之和是30．
月测备选
测试1、填一填.
【解析】
测试2、下面的方框各应该填几？
【解析】在这个题目中，我们要从低位开始考虑，而且一定要注意进位和退位的问题，除了方法更考察学
生的口算能力.测试3、在下列竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立.
【解析】
测试4、在下列竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立.
测试5、下面的符号各表示几？
测试6、(2009年清华附中入学测试题)如图，在加法算式中，八个字母“QHFZLBDX”分别代表0到9
中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ”的最大值是多少？
2009QHFZ+QHLB1QHDX【解析】原式为2009+QHFZ+QHLB=1QHDX，即QHFZ=1QHDX?QHLB?2009=7991+DX?LB．
为了使QHFZ最大，则前两位QH先尽量大，由于DX?LB小于100，所以QH最大可能为80．若QH=80，则继续化简为FZ=DX?LB?9．现在要使FZ尽量大．
由于8和0已经出现，所以此时DX?LB?9最大为97?12?9=76，此时出现重复数字，可见FZ小于76．而96?12?9=75符合题意，所以此时FZ最大为75，QHFZ的最大值为8075．
第7讲 数字迷 教师版 doc
