当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出
来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有f(1)?f(6)?f(28)=55?9?2?66 (3)在解决{an}的通项公式时也会遇到困难.
f[f(3n)]?3n?1,f(3n?1)?f{f[f(3n)]}?3f(3n),?an?1?3an,所以数列an?f(3n),n?N*的方程为an?2?3n,
从而1?1???1?1(1?1),
na1a2an431 一方面1(1?1)?1,另一方面3n?(1?2)n?Cn0?20?Cn?21?2n?1 n434 所以1(1?1)?1(1?n434n11≤??4n?2a1a2?112nn,所以,综上有 )???2n?142n?14n?211. ?an4例49. 已知函数f?x?的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
① 对于任意x?[0,1]，总有f?x??3，且f?1??4；② 若x（Ⅰ）求f?0?的值；（Ⅱ）求证：f?x?≤4；
（Ⅲ）当x?(1,1](n?1,2,3,???)时，试证明：f(x)?3x?3.
nn?1331?0,x2?0,x1?x2?1,则有f?x1?x2??f?x1??f(x2)?3.
解析: （Ⅰ）解：令x1?x2?0，由①对于任意x?[0,1]，总有f?x??3， ∴f(0)?3
又由②得f(0)?2f(0)?3,即f(0)?3; ∴f(0)?3.
（Ⅱ）解：任取x1,x2?[0,1],且设x1?x2, 则f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)?f(x2?x1)?3, 因为x2?x1?0，所以f(x?x1)?3，即f(x2?x1)?3?0,
2 ∴f(x1)?f(x2).
∴当x?[0,1]时，f(x)?f(1)?4.
1（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(1)?n?1?3(n?N*) n?133（1） 当n=1时，f(1)?f(1)?4?1?3?1?3，不等式成立；
0033（2） 假设当n=k时，f(由f( 11)?k?1?3(k?N*)33k?11111111111)?f[k?(k?k)]?f(k)?f(k?k)?3 ?f(k)?f(k)?f(k)?6
3333333333k?1得3f(1)?f(3k11 )?6?k?1?9.33k?1即当n=k+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式f(于是，当x?(1,n11)?n?1?3对一切正整数都成立. n?1331111](n?1,2,3,???)时，3x?3?3?n?3?n?1?3?f(n?1)， 33333n?1而x?[0,1]，f?x?单调递增 ∴f(1)?f(1) 所以，f(x)?nn?133f(1)?3x?3. n?13
例50. 已知：a1?a2??an?1,ai?0 (i?1,2?n) 求证：解析:构造对偶式：令A?a12 B?a1?a2a2?a3?2a12a2??a1?a2a2?a3?22anan1 ?1??an?1?anan?a12222anana2 ?1?????a1?a2a2?a3an?1?anan?a1222a3ana2a12 ?????a1?a2a2?a3an?1?anan?a122222222则A?B?a1?a2?a2?a3???an?1?an?an?a1＝(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)?0,?A?B
an?1?anan?a1又?ai2?a2jai?aj1 (ai?aj)2 （i,j?1,2?n)
2222221a2?a3anan?a12111a12?a2?1?an??(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)?? ?A?(A?B)?()?????4222a1?a2a2?a3an?1?anan?a1
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在?a,b?上的可积函数f?x?????0，则例51.求证：?e?e?.
解析: ?e?e??ln??lne，∵ln??lne??lnx???d?lnx???1?lnxdx，
???e????e?ex??ex2?x?e??f?x?dx????0.
bax??e,??时，1?lnx?0，
x2??e1?lnx， dx?02x ∴ln??lne，?e?e?.
?e利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证：1?1?1?23?1?2n1x?n?1?1，?n?1,n?N?.
? 解析: 考虑函数f?x??在区间?i,i?1??i?1,2,3,,n?上的定积分.
如图，显然1?1?1?i?11dx-①
?iiixnn对i求和，?1??i?11dx?n?11dx
?i?1i?1ii?1xx??2???2x?1n?1?n?1?1.
?
例53. 已知n?N,n?4.求证：1?1?1?n?1n?2n?3?17?. 2n10 解析:考虑函数f?x??1在区间?i?11?xi?,???nn??i?1,2,3,,n?上的定积分.
∵
1n?i11??n1?in??ini?1n1dx-② 1?x∴
1n11???n?i?i?1i?1nn1?in???i?1nini?1n1111dx??dx??ln?1?x????001?x1?x?ln2?7.
10
例54. （2003年全国高考江苏卷）设a?0，如图，已知直线l:y?ax及曲线C：y?x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0?a1?a）.从C上的点Qn?n?1?作直线平行于x轴，交直线l于点Pn?1，再从点Pn?1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn?1.Qn?n?1,2,,n?的横坐标构成数列?an?.
（Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； （Ⅱ）当a?1,a?1时，证明
1?(an2k?ak?1)ak?2?k?11；
32n1 （Ⅲ）当a?1时，证明?(ak?ak?1)ak?2?.
k?13解析:an?a(a12n?1)（过程略）. a1证明（II）：由a?1知an?1?an2，∵a∵当k?1时，an∴?(ak?1?1，∴11. a2?,a3?2416k?2?a3?1，
16k?ak?1)ak?2?1n11. ?(ak?ak?1)?(a1?an?1)?16k?116322. ?ak证明（Ⅲ）：由a?1知ak?1∴(ak?ak?1)ak?2?(ak?ak?1)ak2?1恰表示阴影部分面积， 显然 ∴
n2(ak?ak?1)ak?1??akak?1x2dx④
?(ak?1kna1n131. 2a?ak?1)ak?2??(ak?ak?1)ak2?1???x2dx??0xdx?a1?a33k?1k?1kk?1奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①1??i?11dx?2??iixi?1?i?；
②1n?i??ini?1ni???i?1?； 1dx?ln?1???ln?1??n??n??1?x③sin?i?sin?i?1?1?sin2?i?1?sin?i11?x2sin?i?1dx??i??i?1；
④(ak2?ak?1)ak?1??akak?1x2dx?13. 3ak?ak??1?3
十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 1?3?11114????? n?13?13?2?13?2?171111111111 ?????????????11147484n?1n?12n?143?2?13?2?1473?2?1283?23?2???1???2831?848472
例56. 设an?1?111???,a?2.求证：an?2. ?ana2a32解析: a?1?1?1???1?1?1?1???1.
naa222a3n23n 又k2?k?k?k(k?1),k?2（只将其中一个k变成k?1，进行部分放缩），?1?2k111??， k(k?1)k?1k于是an?1?111111111?2??2. ?????1?(1?)?(?)???(?)222n223n?1n23n2例57.设数列?an?满足an?1?an?nan?1?n?N??，当a1?3时
证明对所有n?1, 有(i)an?n?2；(ii)1111????? 1?a11?a21?an2解析: (i)用数学归纳法：当n?1时显然成立，假设当n?k时成立即ak?k?2，则当n?k?1时
ak?1?ak(ak?k)?1?ak(k?2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3，成立。
(ii)利用上述部分放缩的结论ak?1?2ak?1来放缩通项，可得
ak?1?1?2(ak?1)?ak?1???2k?1(a1?1)?2k?1?4?2k?1?11?k?1. ak?12
?i?1n1??1?aii?1n11?()n 112?1.??122i?141?2注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：ak?1?(k?2)(k?2?k)?1?k?3；证明(ii)就直接使用了部分放缩的结论ak?1?2ak?1
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:|sinx|?|x|(x?R). 解析:(i)当x?0时,|sinx|?|x|
(ii)当0?x??时,构造单位圆,如图所示:
2yPA 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到sinx?x?|sinx|?|x|
OTBx 当x??时|sinx|?|x|
2 所以当x?0时sinx?x有|sinx|?|x|
(iii)当x?0时, ?x?0,由(ii)可知: |sinx|?|x| 所以综上有|sinx|?|x|(x?R)
十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明f(x)?A,只要证明
f(x)?A?B(B?0),其中B通过寻找分析,归纳完成.
n例59.求证:对一切n(n?N*),都有?1?3.
k?1kk解析:
1kk?1k3?1k(k2?1)???1111 ???????(k?1)k(k?1)?(k?1)kk(k?1)?k?1?k?1??1111?11?k?1?k?1 ???????????(k?1)k?k?1?k?12k(k?1)kk?1k?1?????1?11?2k?????2k?k?1k?1?11
?k?1k?1从而
?kk?1n1k?1?11111111211 ??????????1????32132435k?1k?1kk?1 当然本题还可以使用其他方法,如:
? 1111?kk?kk?1?k?k?k?1??k(k?1)??1? ?11?11k?k?1?11????2??????????1k?1kk?k?1kk?1k????k2??nn 所以?1?1??1?1?2(1?1)?3.
k?1kkk?2kkk
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面
目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明A?f(x)?B,只要证明:A?C?f(x)?B?C(C?0,A?B). 例60.已知数列{an}满足:a?1,a?a?1,求证:2n?1?an?3n?2(n?2).
1n?1nan
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