课时跟踪检测（二十七） 系统题型——解三角形及应用举例
[A级 保分题——准做快做达标]
1．(2024·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋
ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
2
2
解析：选B 由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sinA，即sin(B＋C)＝sinA，π
又sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝1，∴A＝.故选B.
2
2．(2024·临川二中等两校联考)已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的22
对边，若sin A＝，sin B>sin C，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为( )
3
A．2或3 C．3
B．2 D．6
1
解析：选C 因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝1－sin2A＝，由余弦定理得cos
3
b2＋c2－a2b2＋c2－91A＝＝＝，①
2bc2bc3
1122因为S△ABC＝bcsin A＝bc×＝22，所以bc＝6，②
223将②代入①得
b2＋c2－91
12
＝，则b＋c＝13，③
3
22
由sin B>sin C可得b>c，联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.
3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin
A，则sin A＋sin C的最大值为( )
A.2 C．1
9
B. 87D. 8
解析：选B ∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，π
∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋
21?299?2
cos 2A＝sin A＋1－2sinA＝－2?sin A－?＋，∴sin A＋sin C的最大值为. 4?88?
4．(2024·昆明适应性检测)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则
BC边上的高等于( )
1
A．1 C.3
B.2 D．2
310
，cos∠BAC＝－110.
解析：选A 法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝由余弦定理，得BC＝AC＋AB－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×5×2×?－
2
2
2
??
1??＝9，所以10?
BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×2×5×
32×2
＝1，故选A. 3
1212
3
32S△ABC＝，所以BC边上的高h＝＝BC102
法二：因为在△ABC中，tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于2，故选A.
5.(2024·长沙第一中学模拟)已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝A.
15
8
6
AD，BC＝2AD，则sin C的值为( ) 2
B.
15 4
1C. 81D. 4
BD2＋AD2－AB2
解析：选A 设AB＝AD＝2a，则BD＝6a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝＝
2BD×AD6BD＋CD－BC622
＝，所以cos∠BDC＝＝－，整理得CD＋3aCD－10a＝0，解
2BD×CD42×2a×6a4
222
16a＋4a－6a147?π?得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cos C＝＝＝，而C∈?0，?，故sin
2?2×4a×2a168?
6a2222
C＝
15
.故选A. 8
6．(2024·赣州寻乌中学期末)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的边长．若
cos C＋sin C－
A.2－1 C.3＋1
2a＋b＝0，则的值是( )
cos B＋sin BcB.2＋1 D．2
2
解析：选B 在△ABC中，由cos C＋sin C－＝0，根据两角和的正弦公
cos B＋sin Bπππππ?π?式可得2sin?C＋?sin( B＋ )＝2，从而得C＋＝B＋＝，解得C＝B＝，∴A4?44424?
2
ππ2sin＋sin1＋
242πa＋b＝.∴由正弦定理可得＝＝＝2＋1.故选B. 2cπ2
sin
42
7．(2024·葫芦岛期中)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C－
C13
cos C＝1－cos ，若△ABC的面积S＝(a＋b)sin C＝，则△ABC的周长为( )
222
A．27＋5 C．27＋3
B.7＋5 D.7＋3
解析：选D 由sin C－cos C＝1－cos ?2sin cos －?2cos －1?＝1－cos ?cos
2?222?2
CCC?
2
C?
CCCCCCC1
( 2cos －2sin －1 )＝0，∵cos ≠0，∴sin －cos ＝－，两边平方得sin C＝2222222
3CC1CCCππ3
，由sin －cos ＝－可得sin 7113 .又S＝absin C＝(a＋b)sin C＝，∴a＋b＝ab＝4，∴a＝b＝2，再根据余弦定理可4222 2 2 2 得c＝a＋b－2abcos C＝8－27，解得c＝7－1，故△ABC的周长为7＋3，故选D. 8．(2024·长沙模拟)在锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD＋∠C＝90°，则∠B，∠C的大小关系是________． ADsin Bsin B解析：由∠BAD＋∠C＝90°，得∠CAD＋∠B＝90°，由正弦定理得＝＝， BDsin∠BADcos CADsin Csin Csin Bsin C＝＝，又D为BC的中点，所以BD＝DC，所以＝，化简得sin Bcos CDsin∠CADcos Bcos Ccos BB＝sin Ccos C，即sin 2B＝sin 2C，又△ABC为锐角三角形，所以∠B＝∠C. 答案：∠B＝∠C 9.(2024·温州一模)如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD分别是以 AD和BD为底的等腰三角形，其中AD＝1，BC＝4，∠ADB＝∠CDB，则BD＝ ________，AC＝________. 1 2 解析：设∠ADB＝∠CDB＝θ，在△ABD内，BD＝；在△CBD内， cos θ12172 BD＝8cos θ.故＝8 cos θ，所以cos θ＝，BD＝2，cos 2θ＝2cosθ－1＝－. cos θ48在△ACD中，由余弦定理可得AC＝AD＋CD－2AD·CDcos 2θ＝24，AC＝26. 答案：2 26 2 2 2 3 10．(2024·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5， B＝ 2π153，△ABC的面积为，则cos 2A＝________. 34 112π13解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××5a＝ 22322 153a?1?222 ，解得a＝3.由b＝a＋c－2accos B＝32＋52－2×3×5×?－?＝49，得b＝7.由4sin A?2?＝ a32π33?33?2712 ?sin A＝sin B＝sin＝，∴cos 2A＝1－2sinA＝1－2×??＝. sin Bb7314?14?98 71答案： 98 11．(2024·江西七校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ 3π ，4 b且sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)． (1)求证：a，b,2a成等比数列； (2)若△ABC的面积是1，求c的长． 解：(1)证明：∵A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，∴sin B＝－2sin Acos C. 在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C， 3π2 ∵C＝，∴b＝2a，则b＝a·2a， 4∴a，b,2a成等比数列． 12 (2)S△ABC＝absin C＝ab＝1，则ab＝22， 24由(1)知，b＝2a，联立两式解得a＝2，b＝2， 由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝2＋4－42×?－2 2 2 ? ?2? ?＝10，∴c＝10. 2? 2 12．(2024·大连检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosB－cosC－sinA＝sin Asin B. (1)求角C； (2)若c＝26，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值． 解：(1)由已知得sinA＋sinB－sinC＝－sin Asin B， 由正弦定理得a＋b－c＝－ab， 2 2 22 2 2 2 2 a2＋b2－c21 由余弦定理可得cos C＝＝－. 2ab2 4 2π ∵0 3 1――→→―→―→2―→ 2―→―→ (2)法一：由|CD |＝|CA＋CB|＝2，可得CA＋CB＋2CA·CB＝16， 2即a＋b－ab＝16， 又由余弦定理得a＋b＋ab＝24，∴ab＝4. 13 ∴S＝absin∠ACB＝ab＝3. 24 法二：延长CD到M，使CD＝DM，连接AM，易证△BCD≌△AMD，∴BC＝AM＝a，∠CBD＝∠MAD， π∴∠CAM＝. 3 ??a＋b＋ab＝24， 由余弦定理得?22 ?a＋b－ab＝16，? 2 22 2 2 2 113 ∴ab＝4，S＝absin∠ACB＝×4×＝3. 222 [B级 难度题——适情自主选做] 1．(2024·成都外国语学校一模)在△ABC中，sinA≤sinB＋sinC－sin Bsin C，则A的取值范围是( ) 2 2 2 ?π?A.?0，? 6???π?C.?0，? 3?? 2 B.?D.? 2 ?π，π? ? ?6??π，π? ? ?3? 2 2 2 2 解析：选C 由正弦定理及sinA≤sinB＋sinC－sin Bsin C可得a≤b＋c－bc，即 b2＋c2－a2bc1π b＋c－a≥bc，由余弦定理可得cos A＝≥＝，又0 2bc2bc23 2 2 2 ?π?故A的取值范围是?0，?.故选C. 3?? 2．(2024·陆川中学期中)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C＋ccos A＝bsin B，且∠CAB＝ π .若点D是△ABC6 外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D＝________. 解析：因为acos C＋ccos A＝bsin B， 所以由正弦定理可得sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B＝sinB，sin B＝1， 2 5
(新课改省份专用)2024版高考数学一轮复习 系统题型——解三角形及应用举例(含解析)
