（1）在?ABC中，a?3，b?5，B??4，
由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB，整理得c2?32c?4?0，
Qc?0，解得c?2或c?22. 当c?2时，由正弦定理3?acb??，得sinAsinCsinBsinA?asinB?b222?2?310，sinC?csinB?2?5；
10b555当c?22时，由正弦定理acb??，得sinAsinCsinBsinA?asinB?b3?2222?2?310，sinC?csinB?2?25.
10b555综上所述，当c?2时，sinA?3103105，sinC?；当c?22时，sinA?，
51010sinC?25； 512acsinB?ac?1，则ac?22， 24（2）?ABC的面积为S?ABC?222由余弦定理得b?a?c?2accos?4，整理得a2?c2?9，
??ac?22即?2，解得a?1或a?22． 2??a?c?1【点睛】
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查计算能力，是中档题． 19．等比数列?an?中，a2?2，a7?8a4． （1）求?an?的通项公式；
（2）记Sn为?an?的前n项和，若Sm?63，求m．
n-1【答案】（1）an=2；（2）6.
【解析】（1）设等比数列?an?的公比为q，根据题意得出关于a1和q的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列?an?的通项公式；
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（2）利用等比数列的求和公式求出Sn，然后解方程Sm?63可得m的值. 【详解】
（1）设等比数列?an?的公比为q，由题意可得??a1q?2?a1?1，解得， ?63aq?8aqq?21??1n?1n?1因此，数列?an?的通项公式为an?a1q?2；
（2）Sn?【点睛】
a11?qn1?q???1?2n1?2m?2n?1，由Sm?2?1?63，解得m?6.
本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了利用等比数列的求和公式求参数，考查计算能力，属于基础题.
20．已知直线l:y??x?8与x轴相交于点A，点B坐标为?0,?4?，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C．记过A、B、C三点的圆为圆M． （1）求圆M的方程；
（2）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．
【答案】（1）?x?4???y?2??20；（2）x?6或3x?4y?10?0.
【解析】（1）根据题意，由直线l的方程求出A的坐标，分析可得圆M是以AB为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；
（2）根据题意，设要求直线为CD，计算出圆心M到直线CD的距离为d?2，分两种情况讨论：①直线CD的斜率存在，可得出直线CD的方程为x?6，验证即可；②当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y?2?k?x?6?，利用圆心到直线
22CD的距离求出k的值.综合可得出所求直线的方程.
【详解】
（1）根据题意，直线l:y??x?8与x轴相交于点A，则A又由BC?AC，则?ACB?90o，
则圆M是以AB为直径的圆，其圆心M?4,?2?，半径r?因此，圆M的方程为?x?4???y?2??20； （2）直线BC的方程为y?x?4，联立?22?8,0?，
AB2?25，
?y?x?4?x?6，解得?，即点C?6,2?.
y??x?8y?2??第 12 页 共 15 页
设要求直线为CD，且与圆M的交点为C、D， 圆心到直线CD的距离d?分两种情况讨论：
①当直线CD的斜率不存在，则CD的方程为x?6， 易得圆心M到直线CD的距离为2，符合题意；
②当直线CD的斜率不存在，设直线CD的方程为y?2?k?x?6?，即kx?y?6k?2?0，
20?16?2，
若圆心M到直线CD的距离为2，则有4k?2?6k?21?k2?2k?41?k2?2，解得k?，
34则此时直线CD的方程为3x?4y?10?0.
综上所述，所求直线的方程为x?6或3x?4y?10?0. 【点睛】
本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.
21．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA?平面ABCD，且
PA?AD?2，点E为线段PD的中点．
（1）求证：PB//平面AEC； （2）求证：AE⊥平面PCD； （3）求三棱锥A?PEC的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
2. 3【解析】（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，可知点O为BD的中点，利用中位线定理可得出PB//OE，利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）证明CD?平面PAD，可得出AE?CD，再由等腰三角形三线合一的性质得出
AE?PD，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；
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（3）由（2）知AE⊥平面PCD，则AE为三棱锥A?PEC的高，计算出?PCE的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥A?PEC的体积. 【详解】
（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，如图所示：
QO是正方形ABCD对角线的交点，?O为BD的中点，
由已知E为线段PD的中点，?PB//OE，
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，?PB//平面AEC； （2）QPA?AD，E为线段PD的中点，?AE?PD，
QPA?平面ABCD，CD?平面ABCD，?CD?PA，
在正方形ABCD中，CD?AD，又PA?AD?A，\\CD^平面PAD，
QAE?平面PAD，?AE?CD，QPDICD?D，?AE?平面PCD；
（3）QAE^平面PCD， 故三棱锥A?PCE的体积
11112VA?PCE?S?PCE?AE??PE?CD?AE??2?2?2?.
33263【点睛】
本题考查线面平行和垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2?22．4）已知二次函数f(x)?ax?bx?c(a?N)，若不等式f(x)?2x的解集为（1，，
且方程f（x）=x有两个相等的实数根． （1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）>mx在x?(1,??)上恒成立，求实数m的取值范围； （3）解不等式f(x)?mx.(m?R) 【答案】（1）【解析】【详解】
第 14 页 共 15 页 ；（2） m<1；（3）见解析
（1）由题意,由韦达定理得，，即有因为方程消去所以
得
是方程
，
，
的两根，且，
有两个相等的实数根，所以或
（舍去），;
在，
（2） 由题意，不等式设
上恒成立，
，
其图象的对称轴方程为
当即时，有（）=，得
当综上，（3）方程当当
即
即；
时，有，得，
的判别式
时，不等式的解集为时，不等式的解集为
；
时，
；
;
，
时：
时，不等式的解集为当
即
或
不等式的解集为
【考点】函数恒成立问题， 二次函数的性质， 一元二次不等式的解法
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2024-2024学年江苏省南通市高二上学期期初调研测试数学试题(解析版)
