2 微分方程实验
1、微分方程稳定性分析 根据微分方程稳定性理论，确定下列资质系统的平衡点，并说明那些点是稳定的，哪些点是不稳定，绘出相应的轨线，标出随t郑家的运动方向。
?dx?dx?dx?dx?x,??x,?y,??x+1,?????dt?dt?dt?dt(1)?(2)?(3)?(4)?
dydydydy??y;??2y;???2x;???2y.?????dt?dt?dt?dt 解：（1）由f（x）=x=0，f（y）=y=0；可得平衡点为（0,0），
?10?系数矩阵A???，求得特征值λ1=1，λ2=1； 01??p=-(λ1+λ2)=-2<0，q=λ1λ2=1>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。 图形如下：
（2）如上题可求得平衡点为（0,0），特征值λ1=-1，λ2=2； p=-(λ1+λ2)=-1<0，q=λ1λ2=-2<0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。
其图形如下：
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（3）如上题可求得平衡点为（0,0），特征值λ1=0 + 1.4142i，λ2=0 - 1.4142i； p=-(λ1+λ2)= 0，q=λ1λ2=1.4142>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。 其图形如下：
（4）如上题可求得平衡点为（1,0），特征值λ1=-1，λ2=-2； p=-(λ1+λ2)= 3>0，q=λ1λ2=2>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点（1，0）是稳定的。
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其图形如下：
2、种群增长模型
一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N，单位
dN?r1?N，但是，处于周界表面的成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有dt那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?
1dN?r1N?r2N2?f(N) 解：由题意很容易列出N满足的微分方程：dt令f(N)=0，可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=r22/r12
11?d2N12进而求得2?(r1?r2N)?(r1N?r2N2)
dt2d2N令2?0可求得N=r22/4r12
dt则N=N1，N=N2，N=r22/4r12可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分
d2Nd2Nd2NdNdNdN?0,?0,?0,?0,；?0；?0。 别有dtdtdtdt2dt2dt23 / 23
则可以画出N（t）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：
由图形也可以看出，对于方程的两个平衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=
r22/r12是稳定的。
3、有限资源竞争模型
1926年Volterra提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型
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?dx1?[b1??1(h1x1?h2x2)]x1??dt??dx2?[b??(hx?hx)]x
2211222??dtb1b2假设
?1??2，称
bi?i为物种i对食物不足的敏感度，
（1）证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡; （2）用图形分析方法来说明物种2最终要灭亡. 解：（1）由上述方程组f（x1）=[b1??1(h1x1?h2x2)]x1=0，
f（x2）=[b2??2(h1x1?h2x2)]x2=0，可得方程的平衡点为P0（0,0），P1（
b2）. ?2h2b1,0），?1h1P2（0,
对平衡点P0（0,0），
?h2?2x1?b1?h1?1x1?h2?1x2??b10?系数矩阵A?????0b?
?h?xb?h?x?h?x?1222121122??2?则p=-（b1+b2）<0，所以该平衡点不稳定。
对平衡点P1（
b1,0）， ?1h1?b?h?x?h?x系数矩阵A??1111212?h1?2x2?b1?2h2b1???b?1h1??h2?2x1??? ???b2?h1?2x1?h1?2x2??b1?2?0b?2??1???则p=b1?b2?b1?1，q=?b1(b2?b1?2?1)，
由题意
?1?b2?2，x1(t0)>0，可以得出p>0,q>0,因此该平衡点是稳定的。
b1,0)，说明物种2最终要灭亡。 ?1h1即t??时，(x1(t),x2(t))?(
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数学建模微分方程实验
