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考点强化练18 相似三角形
夯实基础
1.(2024·广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. C.
B. D.
答案C 解析相似三角形面积比等于相似比的平方,由中位线性质知相似比为1∶2,所以△ADE与△
ABC的面积之比为.
2.
(2024·浙江义乌)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( ) A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 答案C 解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD(对顶角相等), ∴△AOB∽△COD,
∴3.
,
∴CD=0.4m,故选C.
(2017·四川攀枝花)如图,D是等边△ABC边AB上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则答案
解析由题易知∠A=∠B=∠EDF=60°,
∴∠AED=∠FDB.
= .
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∴△AED∽△BDF,∴由翻折易知EC=ED,FC=FD,
.
∴4.
.∴.
(2024·四川巴中)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为 . 答案60 解析先推导出△ABE是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE,
利用同角的余角相等求出∠1=∠2,然后利用“角边角”证明△AFE和△BCE全等;
求出BC的长为6+4=10,再根据全等三角形对应边相等可得AF=BC=10,然后求出△ACD和△BFD相似,设DF=x.
∵△ADC∽△BDF,
∴2
,∴.
整理得x+10x-24=0,解得x=2或-12(舍弃), ∴AD=AF+DF=12,
∴S△ABC=·BC·AD=×10×12=60.
5.
(2024·江苏常州)如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是 . 答案3≤AP<4 解析如图(1),当P在AC上运动时,都有PE∥BC,PG∥AB,∠APD=∠B,有三种相似,即△CPG∽△CAB,△APE∽△ABC,△APD∽△ABC,
图(1)
当∠CPF=∠B时,点F如果与B重合如图(2),
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则△CBP∽△CAB,∴,求得CP=1,
∴PA=3,
图(2)
所以AP的取值范围是3≤AP<4.
2
6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m,斜边AC长为2.5 m,面积为1.5 m,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数)
解甲同学设计的方案较好,理由如下:
2
由AB=1.5m,S△ABC=1.5m,可得BC=2m. 图1中,甲设计的正方形桌面边长为xm, 由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA.
所以
,即
.
所以3-1.5x=2x.解得x=.
图2中,乙设计的桌面的边长为ym, 由AC·BH=AB·BC,得BH=1.2m.
因为DE∥AC,所以Rt△BDE∽Rt△BAC. 所以因为
.即
2
.解得y=.
2
,所以x>y.
所以甲同学设计的方案较好.
7.(2024·山东莱芜)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△AD'E',连接BD'、CE',如图1.
(1)求证:BD'=CE'.
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(2)如图2,当α=60°时,设AB与D'E'交于点F,求的值.
(1)证明∵AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,
∴AD=BD=AE=EC.
由旋转的性质可知:∠DAD'=∠EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴AD'=AE', ∴△BD'A≌△CE'A,∴BD'=CE'. (2)解连接DD'.
∵∠DAD'=60°,AD=AD', ∴△ADD'是等边三角形.
∴∠ADD'=∠AD'D=60°,DD'=DA=DB. ∴∠DBD'=∠DD'B=30°,∴∠BD'A=90°. ∵∠D'AE'=90°,∴∠BAE'=30°, ∴∠BAE'=∠ABD'.
∵∠BFD'=∠AFE',∴△BFD'∽△AFE', ∴.
,
∵在Rt△ABD'中,tan∠BAD'=∴.
8.(2016·浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线; (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长. 解(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°, ∴∠BCD=∠A=40°,
又∠A=40°,∴∠A=∠ACD,
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∴AD=CD,△ACD为等腰三角形, 又∵∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC.
∴CD是△ABC的完美分割线. (2)当AD=CD时(如图①), ∠ACD=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. 当AD=AC时(如图②),
∠ACD=∠ADC==66°.
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. 当AC=CD时,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, 这与∠ADC>∠BCD矛盾,舍去. 综上所述,∠ACB=96°或114°. (3)由已知得AC=AD=2. ∵△BCD∽△BAC, ∴则(
2
,设BD=x,
,
)=x·(x+2),解得x=-1±∵x>0,∴x=-1.
∵△BCD∽△BAC,∴∴CD=9.
,
×2=-1)=.
提升能力
(2024·内蒙古包头)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A、B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°; ③DE2=2CF·CA;
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最新中考数学总复习考点强化练习：第四单元 图形初步与三角形 18 相似三角形
