15．若1?2i是关于x的实系数方程x2?bx?c?0的一个复数根，则（ ）
A．b?2,c?3 B．b??2,c?3 C．b??2,c??1 D．b?2,c??1 【答案】 B
【解析】根据实系数方程的根的特点1?2i也是该方程的另一个根，所以
1?2i?1?2i?2??b，即b??2，(1?2i)(1?2i)?3?c，故答案选择B.
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.
16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C
【解析】由正弦定理，得
222abc?sinA,?sinB,?sinC,代2R2R2Ra2?b2?c2，
a2?b2?c2?0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角由余弦定理的推理得cosC?2ab形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.
17．设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105，随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量?2取值
x1?x2x2?x3x3?x4x4?x5x5?x1、、、、的概率也均22222为0.2，若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则（ ） A．D?1?D?2 B．D?1?D?2
C．D?1?D?2 D．D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 【答案】 A
【解析】 由随机变量
?1,?2的取值情况，它们的平均数分别为：
，
1x1?(x1?x2?x3?x4?x5),5
1?x?xx?xx?xx?xx?x?x2??12?23?34?45?51??x1,
5?22222?且随机变量?1,?2的概率都为0.2，所以有D?1＞D?2. 故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设an?1n?sin，Sn?a1?a2???an，在S1,S2,?,S1正数的个数是（ ） 00中，n25A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=2?(22)?23，CD=2，
z 所以三角形PCD的面积为1. ……6分 ?2?23?232P （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 22,0)，E(1, 2, 1)，
E AE?(1,2,1)，BC?(0,22,0). ……8分 D A 设AE与BC的夹角为?，则
B 24?? cos??AE?BC?2?2，?=. C 242|AE||BC|x 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是? ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分
F 在?AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2
A 知?AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF=?. B 4因此异面直线BC与AE所成的角的大小是
?422y
E
D C ……12分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证
能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数f(x)?lg(x?1).
（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）
（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数
y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）
?2?2x?0[解]（1）由?，得?1?x?1.
x?1?0??2x 由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2x?1得1?2x??21x?10. ……3分 ?1 因为x?1?0，所以x?1?2?2x?10x?10，?2. ?x?133 由???1?x?1得?2. ……6分 ?x?13321??x?3?3 （2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此
y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ……10分 由单调性可得y?[0,lg2].
因为x?3?10，所以所求反函数是y?3?10x，x?[0,lg2]. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 y P 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
yy?12x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t?0.5时，P的横坐标xP=7t? 由|AP|=
949272O x A ，代入抛物线方程y?12x2 49 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分
，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分
7 由tan∠OAP=3?212?7307，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向
7 为北偏东arctan30弧度. ……6分
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t). 由vt? 因为t2?22(7t)2?(12t2?12)2，整理得v2?144(t2?12)?337.……10分
t1t2?2，当且仅当t=1时等号成立，
2 所以v?144?2?337?25，即v?25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x?y?1.
22
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆C2:4x2?y2?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C1:x212?y2?1，左顶点A(?22,0)，渐近线方程：y??2x.
2(x?22 过点A与渐近线y?2x平行的直线方程为y?即y?2x?1. )，
??y??2x?x?? 解方程组?，得?1??y?2x?1?y?224. ……2分
28 所以所求三角形的面积1为S?1|OA||y|?2 故
|b|2. ……4分
（2）设直线PQ的方程是y?x?b.因直线与已知圆相切，
?1，即b2?2. ……6分
?y?x?b22 由?2，得x?2bx?b?1?0. 2?2x?y?1 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则? 又2，所以
OP?OQ?x1x2?y1y2?2x1x2?b(x1?x2)?b2
?x1?x2?2b. 2?x1x2??b?1?2(?b2?1)?b?2b?b2?b2?2?0，
故OP⊥OQ. ……10分
（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=
22，则O到直线MN的距离为
2233.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y?kx（显然|k|?2??y?kx?x? 由?2，得?224x?y?1???y?2同理|OM|?1?k22k2?1），则直线OM的方程为y??1x. k1?k24?k214?k2k24?k22，所以|ON|?.
. ……13分
222223k2?3k2?1 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|?|ON|)d?|OM||ON|， 所以d12?1|OM|21?|ON?|2?3，即d=
33.
综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．
23．对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集
Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X 具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P. （1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通 项公式.（8分）
[解]（1）选取a1?(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b). ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y.设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0.
由(s?t)x1?0得s?t?0，所以s、t异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，
故1?X. ……7分 假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn.
选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾；
若t=-1，则xn?sx1?s?xn，矛盾.
所以x1=1. ……10分
（3）[解法一]猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……12分 记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, …, n. 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P.
任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1?a2?0； 当s??1且t??1时，s、t≥1.
因为Ak?1具有性质P，所以有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0，
从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.
假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1.由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，
与
s?Ak矛盾.所以t1?Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分
现用数学归纳法证明：xi?qi?1，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?qi?1，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk} 也有性质P，所以Ak?1?{?1,1,q,?,qk?1,xk?1}.
取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0.由此可得s
与t中有且只有一个为-1.
若t??1，则1，不可能；
所以s??1，xk?1?qt?q?qk?1?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk. 综上所述，xi?qi?1xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设a1?(s1,t1)，a2?(s2,t2)，则a1?a2?0等价于
s1t1t2??s2.
记B?{s|s?X,t?X,|s|?|t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 t原点对称. ……14分
注意到-1是X中的唯一负数， B?(??,0)?{?x2,?x3,?,?xn}共有n-1个数，所以B?(0,??)也只有n-1个数. 由于
xnxn?1?xnxn?2???xnx2?xnx1，已有n-1个数，对以下三角数阵
xnxn?1xn?1xn?2x2x1??xnxn?2xn?1xn?3??????xnx2xn?1x1?
xnx1
……
注意到
xnx1 ，所以
xnxn?1?xn?1x1???x2x1?xn?1xn?2???x2x1，从而数列的通项公式为
x2k?1k?1x?x()?q k，k=1, 2, …, n. ……181x1分
【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．
2012上海高考数学试题（理科）答案与解析
