2012上海高考数学试题（理科）答案与解析
一．填空题 1．计算：
3-i= （i为虚数单位）. 1+i【答案】1-2i 【解析】
3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i. 1+i(1+i)(1-i)2【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.
2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x||x?1|?2}，则A?B? . 【答案】 ???1?,3? ?2?1，由x?1?2,得到,?1?x?3，所以 2【解析】根据集合A 2x?1?0，解得x???1?A?B???,3?.
?2?【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.
2 cosx3．函数f(x)?的值域是 .
sinx ?1【答案】???53?,?? ?22?1sin2x?2，因为?1?sin2x?1，所以2【解析】根据题目f(x)??sinxcosx?2???53?f(x)??. 22【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.
4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】arctan2
【解析】设直线的倾斜角为?，则tan??2,??arctan2.
【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 . x【答案】?160
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T4?C6x(?)??160 . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、
332x31为公比的等比数列，体积分别记为2V1，V2，?，Vn，?，则lim(V1?V2???Vn)? .
n??【答案】
8 71为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了2【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，
一个以1为首项，
1为公比的等比数列，因此，lim(V1?V2???Vn)?n??811?18?8 . 7【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是 . 【答案】???,1?
【解析】根据函数f(x)?ex?a?ex?a,x?a????x?a看出当x?a时函数增函数，而已知函数
,x?a??ef(x)在区间?1,???上为增函数，所以a的取值范围为：???,1? .
【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
3? 3122【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到?l?2?，解得母线
长
l?2，
2?r??l?2?,r?1所以该圆锥的体积为：
113V圆锥?Sh??22?12???.
333【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.
9．已知y?f(x)?x2是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? . 【答案】?1 【
解
析
】
因
为
函
数
y?f(x)?x2为奇函数，所以
g(1)?f(1)?2,又f(1)?1,所以g(1，)?3,f(?1)??3,g(?1)?f(?1)?2??3?2??1 .f(?1)??f(1).
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y?f(x)为奇函数，所以有f(?x)??f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.
10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角???6，
若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则f(?)? .
【答案】
1sin(?6
??)1(x?2)，将此2【解析】根据该直线过点M(2,0)，可以直接写出代数形式的方程为：y?化成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得f(?)?1sin(?6.
??)【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小
题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】
2 32. 3【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.
12．在平行四边形ABCD中，?A??3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足【答案】?2,5?
|BM||BC|?|CN||CD|，则AM?AN的取值范围是 . 【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB?2,AD?1，所以
51A(0,0),B(2,0),C(,1)D(,1). 设
221515515151?N(x,1)(?x?),则BM? CN , CN?-x , BM?-x , M(2??x,(?x)sin).22224284423??根据题意，有AN?(x,1),AM?(??21x53?23x?,). 848??21x53?23x?15?所以AM?AN?x(?)???x??，所以2?AM?AN?5.
8482??2642D105NBCM510A246
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
13．已知函数y?f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)， 函数y?xf(x)（0?x?1）的图象与x轴围成的图形的面积为 . 【答案】
125 4【解析】根据题意得到，
1?10x,0?x???2f(x)??从而得到
??10x?10,1?x?1??21?21x0?,x0???2y?xf(x)????10x2?10x,1?x?1??2所以围成的面积为
S??10xdx??1(?10x2?10x)dx?2120155，所以围成的图形的面积为 .
44【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC?2，若AD?2c， 且AB?BD?AC?CD?2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 . 【答案】
2ca2?c2?1 3【解析】据题AB?BD?AC?CD?2a，也就是说，线段AB?BD与线段AC?CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当BC?平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为：
2ca2?c2?1. 3【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.
二、选择题（20分）
2012上海高考数学试题（理科）答案与解析
