精品资源·备战高考
第2讲 空间点、线、面的位置关系
专题强化训练
1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；又直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
2．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选A.B选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
解析：选C.A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1
＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以BC1⊥A1E.故选C.
4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
解析：选C.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝
AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.
题海无涯·战胜高考
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5．(2024·温州市高考数学二模)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为( )
A．22 C.11
B.10 D．23
解析：选B.由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于
B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM＝2，EN＝2，∠MEN＝135°，
所以MN＝
4＋2－2×2×2×?－
??2?
?＝10. 2?
6.(2024·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1
中，点P在平面A1B1C1内运动，使得二面角P-AB-C的平面角与二面角P-BC-A的平面角互余，则点P的运动轨迹是( )
A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．双曲线的一支
解析：选D.不妨令三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，且底面是以B为直角的直角三角形，令侧棱长为m，以B为坐标原点，BA方向为x轴，BC方向为y轴，BB1方向为z轴，建立空间直角坐标系，
设P(x，y，m)，所以Q(x，y，0)，过点Q作以QD⊥AB于点D，作QE⊥BC于点E， 则∠PDQ即是二面角P-AB-C的平面角，∠PEQ即是二面角P-BC-A的平面角， 所以tan∠PDQ＝，tan∠PEQ＝，
又二面角P-AB-C的平面角与二面角P-BC-A的平面角互余，所以tan∠PDQ·tan∠PEQ＝1，即·＝1，所以QD·QE＝PQ＝m，因Q(x，y，0)，所以QE＝x，QD＝y，
PQDQPQEQPQPQDQEQ22
m2
所以有xy＝m，所以y＝(x>0)，即点Q的轨迹是双曲线的一支，所以点P的轨迹是双
x2
曲线的一支．故选D.
7．(2024·绍兴诸暨高考一模)已知三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所π
成角等于，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是( )
3
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A.?C.?
?3－63＋6?
，?
6??6
323??2
－，＋? 626??2
B.?D.?
?3－6?
，1?
?6?
3??2
－，1? 6?2?
解析：选A.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都相等， 所以三棱锥A-BCD为正四面体，如图：
设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP， 则∠BAP为AB与平面ADC所成角．
AP＝BP＝3，可得cos∠BAP＝
设∠BAP＝θ.
36
，sin∠BAP＝. 33
当CD与α平行且AB在平面ACD上面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，为πππ33163－6??sin?－θ?＝sincos θ－cossin θ＝×－×＝；
3323236?3?
当CD与α平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，为ππ33163＋6?π?sin?＋θ?＝sincos θ＋cossin θ＝×＋×＝，所以平面ACD与平面3323236?3?
α所成角的正弦值的取值范围是?
?3－63＋6?
，?.故选A.
6??6
8．(2024·浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC的两条直角边AC＝2，BC＝3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A-CP-B，此时二面角P-AC-B的正切值为2，则翻折后AB的长为( )
A．2 B.5
C.6 D.7
解析：选D.如图，在平面PCB内过P作直二面角A-CP-B的棱CP的垂线交边BC于E, 则EP⊥平面ACP.
于是在平面PAC中过P作二面角P-AC-B的棱AC的垂线，垂足为D，连接DE，则∠PDE为二面角P-AC-B的平面角，且tan∠PDE＝＝2，设
EPPDDP＝a，则EP＝2a.
如图，设∠BCP＝α，则∠ACP＝90°－α，则在直角三角形DPC中，
PC＝
则
＝，又在直角三角形PCE中，tan α＝，
sin（90°－α）cos αPCaaPEacos α·tan α＝2a，sin α＝2cosα，所以α＝45°，因为二面角A-CP-B为直二面
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题海无涯·战胜高考
2024高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间点线面的位置关系专题强化训练[浙江]
