第8章 《整式乘法与因式分解》思想方法讲义
类型1 转化思想 1．若a＝5，a＝3，则a
6
5
m
n
2m－n
25＝． 356
2．若a＝5，b＝6，则30＝ab(用含有a，b的代数式表示)． 类型2 整体思想
3．当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，则(a＋b－1)(1－a－b)的值为(A) A．－16 B．－8 C．8 D．16 4．已知2m－3n＝－4，则代数式m(n－4)－n(m－6)的值为8． 5．(2019·淮北期末)若x＋y＝4，xy＝2，则x＋y＝12． 12
6．已知x－2x＝－，将下式化简，并求值：
3(x－1)＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1)． 解：原式＝x－2x＋1＋x－9＋x－4x＋3 ＝3x－6x－5. 12
因为x－2x＝－，
3所以3(x－2x)＝－1， 即3x－6x＝－1. 所以原式＝－1－5＝－6.
7．下面是某同学对多项式(x－4x＋2)(x－4x＋6)＋4进行因式分解的过程． 解：设x－4x＝y，
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)(第三步) ＝(x－4x＋4)(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C． A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果(x－2)；
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(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x－2x)(x－2x＋2)＋1进行因式分解． 解：设y＝x－2x， 原式＝y(y＋2)＋1 ＝y＋2y＋1 ＝(y＋1) ＝(x－2x＋1) ＝(x－1).
类型3 数形结合思想
8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)
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A．(a－b)＝a－2ab＋b B．a(a－b)＝a－ab C．(a－b)＝a－b D．a－b＝(a＋b)(a－b) 类型4 方程思想
9．已知多项式kx－6xy－8y可分解成(2mx＋2y)·(x－4y)，则m＝1，k＝2． 10．已知a
m＋1n＋2
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b·a
2n－12m
b＝ab，则m＋n的值为2．
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11．已知a＋b－a＋4b＋4＝0，则a＝，b＝－2．章末复习(三) 整式乘法与因式分解
42知识点1 幂的有关运算 1．化简(2x)的结果是(C)
A．x B．2x C．4x D．4x 2．当a＞0时，下列关于幂的运算不正确的是(C) 1－122
A．a＝ B．(－a)＝a
a1－10
C．3a＝ D．a＝1
3a3．(2019·合肥期末)下列计算正确的是(D) A．a·a＝a B．a－a＝a C．a÷a＝a D．(－a)＝a 知识点2 科学记数法
4．(2019·合肥包河区期末)每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤
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维的直径约为0.0000115m，该数值用科学记数法表示为(C) A．1.15×10 B．0.115×10 C．1.15×10 D．115×10
5．近年来，全球发现一种通过蚊虫传播的病毒——寨卡病毒，其直径约为0.0000021cm，用科学记数法表示为2.1×10
－n
－5
－7
5
－4
cm，则n＝6．
知识点3 整式的乘除法
6．计算(－8mn＋12mn－4mn)÷(－4mn)的结果等于(C) A．2mn－3mn＋n B．2m－3mn＋n C．2m－3mn＋n D．2m－3mn＋n
7．(2019·合肥瑶海区期中)在算式(x＋a)(x－b)的积中不含x的一次项，则a，b一定满足(C) A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．ab＝0
12
8．先化简，再求值：(2a＋3b)(3a－2b)－5a(b＋1)－6a，其中a＝－，b＝2.
2解：原式＝6a＋5ab－6b－5ab－5a－6a ＝－6b－5a. 1
当a＝－，b＝2时，
212
原式＝－6×2－5×(－)
25
＝－24＋ 21＝－21.
2
知识点4 乘法公式 9．下面运算正确的是(D) A．(x＋2)＝x＋4 B．(x－1)(－1－x)＝x－1 C．(－2x＋1)＝4x＋4x＋1 D．(x－1)(x－2)＝x－3x＋2
10．加上下列单项式，仍不能使4x＋1成为完全平方式的是(D) A．4x B．4x C．－4x D．2x 11．(2019·淮北期中)若p＋q＝5，pq＝4，则2p＋2q的值为(D) A．25 B．17 C．50 D．34
12．先化简，再求值：[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)]÷4y，其中x＝5，y＝2. 解：原式＝[x－4y－(x＋8xy＋16y)]÷4y
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＝(－20y－8xy)÷4y ＝－5y－2x. 当x＝5，y＝2时， 原式＝－5×2－2×5＝－20. 知识点5 因式分解
13．把a－2a分解因式，正确的是(A)
A．a(a－2) B．a(a＋2) C．a(a－2) D．a(2－a) 14．把多项式2x－8分解因式，结果正确的是(C) A．2(x－8) B．2(x－2) 4
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－) x15．(2019·宣城期末)因式分解：bx－2bx＋b＝b(x－1)． 16．因式分解： (1)3x＋6xy＋3y； 解：原式＝3(x＋2xy＋y) ＝3(x＋y).
(2)ab－a－b＋1.
解：原式＝(ab－a)－(b－1) ＝a(b－1)－(b－1) ＝(b－1)(a－1)．
易错题集训
17．因式分解：x－9x＝x(x＋3)(x－3)． 18．计算： (1)(a)＋a； 解：原式＝a＋a.
(2)(x－y)·(y－x)·(y－x)． 解：原式＝－(x－y)·(x－y)·(x－y) ＝－(x－y).
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常考题型演练
19．(2019·合肥蜀山区校级期中)计算(x＋1)(x＋1)(x－1)的结果正确的是(C) A．x＋1 B．(x＋4) C．x－1 D．(x－1)
20．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为(B) A．0.22×10 B．2.2×10C．22×10
－11
－9
－10
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4
4
4
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D．0.22×10
2
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－8
21．(2018·蚌埠期末)已知a＋b＝－5，ab＝－4，则a－ab＋b的值为(B) A．29 B．37 C．21 D．33 22．(2018·河北)若2＋2＋2＋2＝2，则n＝(A) 1
A．－1 B．－2 C．0 D.
423．计算：
(1)3(2x－1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)；
解：原式＝3(2x＋12x－x－6)－5(x＋6x－3x－18) ＝6x＋33x－18－5x－15x＋90 ＝x＋18x＋72.
(2)[－4ab＋ab(20a－ab)]÷(－2a)． 解：原式＝(－4ab＋20ab－ab)÷(－2a) ＝(－5ab＋20ab)÷(－2a) 52
＝b－10ab. 224．分解因式： (1)81x－y；
解：原式＝(9x＋y)(9x－y) ＝(9x＋y)(3x＋y)(3x－y)． (2)x(y－1)＋2x(y－1)＋(y－1)； 解：原式＝(y－1)(x＋2x＋1) ＝(y－1)(y＋1)(x＋1). (3)a＋2ab＋ac＋bc＋b.
解：原式＝(a＋2ab＋b)＋(ac＋bc) ＝(a＋b)＋c(a＋b) ＝(a＋b)(a＋b＋c)．
25．已知多项式(x＋mx＋n)(x－3x＋4)展开后不含x和x项，试求m，n的值．
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解：原式＝x－3x＋4x＋mx－3mx＋4mx＋nx－3nx＋4n ＝x＋(m－3)x＋(4－3m＋n)x＋(4m－3n)x＋4n.
??m－3＝0，
由题意，得?
?4－3m＋n＝0.???m＝3，
解得?
?n＝5.?
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26．先化简，再求值：(2x＋1)－2(x－1)(x＋3)－2，其中x＝2. 解：原式＝(4x＋4x＋1)－2(x＋2x－3)－2 ＝4x＋4x＋1－2x－4x＋6－2 ＝2x＋5. 当x＝2时， 原式＝2×2＋5＝13.
27．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)．
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图1 图2 图3
(1)图2中的阴影部分的面积为(b－a)；
(2)观察图2请你写出 (a＋b)，(a－b)，ab之间的等量关系是(a＋b)＝(a－b)＋4ab； 92
(3)根据(2)中的结论，若p－q＝－4，p·q＝，则(p＋q)＝25；
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(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了(a＋b)(3a＋b)＝3a＋4ab＋b； (5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a＋b)(a＋2b)＝2a＋5ab＋2b. 解：如图：
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沪科版七年级数学下册 第8章《整式乘法和因式分解》思想方法讲义（答案版）
